Benutzer:tobit09/Beweis-Tutorial A10

Beweis-Tutorial

3. "es existiert"-Aussagen

Lösungsvorschlag Aufgabe 10

Aufgabe:

Seien natürliche Zahlen. Gelte und . Zeige .

Überlegungen zur Lösung:

Gegeben:
Natürliche Zahlen .
x|y, d.h. es existiert eine natürliche Zahl mit .
x|z, d.h. es existiert eine natürliche Zahl mit .
Zu zeigen:
x|y+z, d.h. es existiert eine natürliche Zahl mit .

Beispielsweise mit Schmierzettel-Methode ein Beispiel für finden:
1. Eine geeignete natürliche Zahl muss

erfüllen. Falls gilt (was im Falle, dass man nicht zu den natürlichen Zahlen zählt, sowieso erfüllt ist), folgt .
2. Die Zahl ist tatsächlich eine natürliche Zahl (da und natürliche Zahlen sind) und erfüllt

(auch im Falle x=0).

Lösungsvorschlag:

Da gilt, existiert eine natürliche Zahl mit .
Da gilt, existiert eine natürliche Zahl mit .
Da und natürliche Zahlen sind, ist auch eine natürliche Zahl. Sie erfüllt

    .

Also gilt .