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| Aufgabe | [mm] \gamma(t)=e^{it}, t\in [0,2\pi]
[/mm]
[mm] \integral_{\gamma}{f(z) dz}=\integral_{\gamma}{f(\bruch{1}{z})\bruch{1}{z^{2}} dx} [/mm] |
guten abend!
also ich ahbe folgendermassen angefangen, habe mal [mm] \gamma(t) [/mm] eingesetzt:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{f(\gamma(t)) * (\gamma(t))' dt}=\integral_{0}^{2\pi}{f(e^{it})*i*e^{it} dt} [/mm]
Das wäre die linke Seite, weiter komme ich da nicht.. Dann die rechte Seite:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{f(\bruch{1}{\gamma(t)}) * (\bruch{1}{\gamma(t)})' * \bruch{1}{(\gamma(t))^{2}} dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{f(e^{-it})*-i*e^{-it}*e^{-2it}dt}
[/mm]
ist das so weit ok? nun beginnen die Unsicherheiten..
1.) kann ich die beiden Terme: [mm] e^{-it}*e^{-2it} [/mm] zusammenrechnen? ist eigentlich ok, nicht? Dann hätte ich:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{f(e^{-it})*-i*e^{-3it}dt}
[/mm]
Nun soll ich ja eine Gleichheit zeigen. Ich denke es geht irgendwie über den Satz, der sagt, wenn [mm] \gamma, \gamma' [/mm] aequ. [mm] \Rightarrow \integral_{\gamma}{f}=\integral_{\gamma'}{f}
[/mm]
Aber ich komme trotzdem nicht weiter.. wäre froh um Tipps¨Vielen lieben Dank, Grenzwert
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Di 13.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]\gamma(t)=e^{it}, t\in [0,2\pi][/mm]
> [mm]\integral_{\gamma}{f(z) dz}=\integral_{\gamma}{f(\bruch{1}{z})\bruch{1}{z^{2}} dx}[/mm]
>
> guten abend!
> also ich ahbe folgendermassen angefangen, habe mal
> [mm]\gamma(t)[/mm] eingesetzt:
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{f(\gamma(t)) * (\gamma(t))' dt}=\integral_{0}^{2\pi}{f(e^{it})*i*e^{it} dt}[/mm]
> Das wäre die linke Seite, weiter komme ich da nicht.. Dann
> die rechte Seite:
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{f(\bruch{1}{\gamma(t)}) * (\bruch{1}{\gamma(t)})' * \bruch{1}{(\gamma(t))^{2}} dt}[/mm]
Stopp! Wie kommt die Ableitung von [mm]\gamma[/mm] in den Nenner? Richtig ist:
[mm]\integral_{0}^{2\pi}{f(\bruch{1}{\gamma(t)}) * \bruch{1}{(\gamma(t))^{2}} * \gamma(t)' dt}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{2\pi}{f(e^{-it})*-i*e^{-it}*e^{-2it}dt}[/mm]
> ist das so weit ok? nun beginnen die Unsicherheiten..
> 1.) kann ich die beiden Terme: [mm]e^{-it}*e^{-2it}[/mm]
> zusammenrechnen? ist eigentlich ok, nicht?
Ja. Wenn du jetzt noch die Ableitung von [mm]\gamma[/mm] richtig einsetzt, sollte dir das gewünschte Ergebnis schon fast ins Auge springen.
> Nun soll ich ja eine Gleichheit zeigen. Ich denke es geht
> irgendwie über den Satz, der sagt, wenn [mm]\gamma, \gamma'[/mm]
> aequ. [mm]\Rightarrow \integral_{\gamma}{f}=\integral_{\gamma'}{f}[/mm]
Das geht auch. Hast du dir mal überlegt, wie die Kurve aussieht?
Tipp: Die Kurve [mm]\overline{\gamma}(t)=\bruch{1}{\gamma(t)[/mm] ist [mm]\gamma[/mm], aber in Rückwärtsrichtung durchlaufen.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Di 13.11.2007 | | Autor: | Grenzwert |
Vielen lieben Dank! :)
Ich dachte irgendwie, weil ich ja [mm] f(\bruch{1}{\gamma(t)} [/mm] habe müsse ich auch die Ableitung von [mm] \bruch{1}{\gamma(t)} [/mm] anschauen..
Na ja, war wohl nicht ganz sooo schlau dieser Rückschluss.. ;)
Dann habe ich einfach auf der linken seite den vorhin schon erwähnten Ausdruck und rechts die ganze Sache mit [mm] e^{-it}.
[/mm]
Dann haben wir also einmal den Weg [mm] \gamma [/mm] und das zweite Mal den Weg [mm] \bruch{1}{\gamma}, [/mm] die äquivalent sind.
Einen schönen Abend noch und danke nochmals für die Hilfe!
Grenzwert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Di 13.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Übrigens kannst du es auch anders nachweisen: das rechte Integral geht aus dem linken durch die Subsitution [mm]z\mapsto\bruch{1}{z}[/mm] hervor. Es dreht sich dabei natürlich auch die Richtung des Weges um, deswegen musst du mit den Vorzeichen aufpassen.
Viele Grüße
Rainer
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