symmetrische differenz < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 Fr 23.04.2010 | | Autor: | eldorado |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende mengentheroretische Operation. Dabei sei CA das Komplement der Menge A sowie A [mm] \Delta [/mm] B := (A \ B) [mm] \cup [/mm] (B \ A).
A [mm] \Delta [/mm] B = (CA) [mm] \Delta [/mm] (CB) |
Hallo!
Also ich hab mal so angefangen:
CA [mm] \Delta [/mm] CB = (CA \ CB) [mm] \cup [/mm] (CB \ CA)
sei x [mm] \in [/mm] (A \ B) [mm] \cup [/mm] (B \ A)
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] (A \ B) [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] (B \ A)
[mm] \gdw [/mm] ( x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B ) [mm] \vee [/mm] ( x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A )
[mm] \gdw [/mm] ( x [mm] \not\in [/mm] CA [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] CB ) [mm] \vee [/mm] ( x [mm] \not\in [/mm] CB [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] CA )
[mm] \gdw [/mm] ( x [mm] \in [/mm] CB [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] CA ) [mm] \vee [/mm] ( x [mm] \in [/mm] CA [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] CB )
[mm] \gdw [/mm] ( x [mm] \in [/mm] CA [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] CB ) [mm] \vee [/mm] ( x [mm] \in [/mm] CB [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] CA )
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] (CA \ CB) [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] (CB \ CA)
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] (CA \ CB) [mm] \cup [/mm] (CB \ CA)
[mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \Delta [/mm] B = (CA) [mm] \Delta [/mm] (CB)
Stimmt das so?
Danke für die Hilfe,
lg eldorado
|
|
| |
|
Hallo eldorado,
> Beweisen Sie folgende mengentheroretische Operation. Dabei
> sei CA das Komplement der Menge A sowie A [mm]\Delta[/mm] B := (A \ B) [mm]\cup[/mm] (B \ A).
>
> A [mm]\Delta[/mm] B = (CA) [mm]\Delta[/mm] (CB)
> Hallo!
>
> Also ich hab mal so angefangen:
>
> CA [mm]\Delta[/mm] CB = (CA \ CB) [mm]\cup[/mm] (CB \ CA)
>
> sei x [mm]\in[/mm] (A \ B) [mm]\cup[/mm] (B \ A)
> [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] (A \ B) [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] (B \ A)
> [mm]\gdw[/mm] ( x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] B ) [mm]\vee[/mm] ( x [mm]\in[/mm] B [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] A )
> [mm]\gdw[/mm] ( x [mm]\not\in[/mm] CA [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] CB ) [mm]\vee[/mm] ( x [mm]\not\in[/mm] CB [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] CA )
> [mm]\gdw[/mm] ( x [mm]\in[/mm] CB [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] CA ) [mm]\vee[/mm] ( x [mm]\in[/mm] CA [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] CB )
> [mm]\gdw[/mm] ( x [mm]\in[/mm] CA [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] CB ) [mm]\vee[/mm] ( x [mm]\in[/mm] CB [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] CA )
> [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] (CA \ CB) [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] (CB \ CA)
> [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] (CA \ CB) [mm]\cup[/mm] (CB \ CA)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] A [mm]\Delta[/mm] B = (CA) [mm]\Delta[/mm] (CB)
>
> Stimmt das so?
Ja, sehr schön, für einen potentiellen Korrektor an der Uni wären ein paar Anmerkungen zu den Umformungen ganz nett ... 
Und vllt. noch etwas Kosmetik:
Beginne mit: Sei [mm] $x\in A\Delta [/mm] B [mm] \gdw [/mm] ...$ und ende mit [mm] $\gdw x\in A^C\Delta B^C$
[/mm]
> Danke für die Hilfe,
> lg eldorado
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
