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Forum "Integralrechnung" - stammfunktion eines bruches
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stammfunktion eines bruches: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:20 Sa 28.05.2005
Autor: basdian

hallo!

erstmal vielen dank an alle, fuer die freundlichen antworten auf meine letzten fragen!!

mein naechstes problem ist, wie man die stammfunktion zu dieser funktion bildet:

f(x)= [mm] \bruch{(2x-1)²}{4x²-1} [/mm]

die stammfunktion zu f(x)= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist ja F(x)=ln lxl       [lxl=betrag x)

wenn nun bei meiner funktion ueber dem bruchstrich eine 1 stuende waere die stammfunktion: F(x)=ln l(4x²-1)l , oder?

was mache ich nun mit dem ueberm bruchstrich koennte es sein, dass die stammfunktion von:

f(x)= [mm] \bruch{(2x-1)²}{4x²-1} [/mm]

F(x)=  [mm] (\bruch{4}{3}x³-2x²+x) \* [/mm] [ln l(4x²-1)l ] ist?

danke schonmal!

viele gruesse von bastian


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
stammfunktion eines bruches: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:44 Sa 28.05.2005
Autor: Karl_Pech

Hallo Bastian!

> mein naechstes problem ist, wie man die stammfunktion zu
> dieser funktion bildet:
>  
> [mm]f\left(x\right) = \bruch{\left(2x-1\right)^2}{4x^2-1}[/mm]

Hier kann man zunächst kürzen:

[m]\frac{{\left( {2x - 1} \right)^2 }} {{4x^2 - 1}}\mathop = \limits^{\begin{subarray}{l} {\text{3te binomische Formel}} \\ {\text{auf Nenner anwenden}} \end{subarray}} \frac{{\left( {2x - 1} \right)^2 }} {{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = \frac{{2x - 1}} {{2x + 1}} = \frac{{2x}} {{2x + 1}} - \frac{1} {{2x + 1}}[/m]

Jetzt wenden wir die Polynomdivision auf [m]\frac{{2x}}{{2x + 1}}[/m] an:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Damit erhalten wir: [m]\frac{{2x}} {{2x + 1}} - \frac{1} {{2x + 1}} = 1 - \frac{1} {{2x + 1}} - \frac{1} {{2x + 1}} = 1 - \frac{2} {{2x + 1}}[/m]

Jetzt erst lohnt es sich zu integrieren, weil es einem nun leichter fällt:

[m]\int {\left( {1 - \frac{2} {{2x + 1}}} \right)} dx\mathop = \limits^{\begin{subarray}{l} {\text{Substitution mit}} \\ x\left( t \right): = \frac{k} {2};x'\left( t \right) = \frac{1} {2} \end{subarray}} \frac{1} {2}\int {\left( {1 - \frac{2} {{k + 1}}} \right)} dk = \frac{1} {2}\left( {k - 2\ln \left( {k + 1} \right)} \right)\mathop = \limits^{\begin{subarray}{l} {\text{Rücksubstitution:}} \\ k = 2x \end{subarray}} \frac{1} {2}\left( {2x - 2\ln \left( {2x + 1} \right)} \right) = x - \ln \left( {2x + 1} \right)[/m]


Grüße
Karl




Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Bezug
        
Bezug
stammfunktion eines bruches: Alternative z. Polynomdivision
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:04 Sa 28.05.2005
Autor: Loddar

Hallo!


In unserem Falle gibt es auch eine Alternative zur MBPolynomdivision, wobei die MBPolynomdivision in solchen Fällen fast immer zum Ziel führt:

Wir addieren eine geeignete Null!

[mm] $\bruch{2x-1}{2x+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2x\red{+1}-1\red{-1}}{2x+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2x+1-2}{2x+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2x+1}{2x+1} [/mm] - [mm] \bruch{2}{2x+1} [/mm] \ = \ 1 - [mm] \bruch{2}{2x+1}$ [/mm]

Das Ergebnis ist dasselbe wie bei Karl_Pech, nun integrieren ...


Gruß
Loddar


Bezug
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