monoton wachsend < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 Sa 17.03.2007 | | Autor: | Aeryn |
| Aufgabe | | Gegeben ist die Folge [mm] (a_{n})\infty [/mm] n=0 monoton wachsend ist. |
Hi!
monoton wachsend ist ja: [mm] a_{n+1} \ge a_{n}.
[/mm]
Das wäre dann:
[mm] \bruch{9*(n+1)^{2} - 6*(n+1) +1}{3*(n+1)^{2} + 5*(n+1) - 2} \ge \bruch{9n^{2}-6n+1}{3n^{2}+5n-2}
[/mm]
Ich hab das mal durchgerechnet, und hoffe ich hab mich nicht verrechnet. Aber mein Endergebnis ist:
[mm] 54n^{2}+44n-8 \ge -9n^{2}-25n+6
[/mm]
Wenn ich nun für n=0 einsetze kommt [mm] -8\ge6, [/mm] das wäre dann eine falsche aussage, aber wenn ich für n=1 einsetze kommt [mm] 90\ge-28 [/mm] raus. Demnach wäre es aber streng monoton wachsend.
LG Aeryn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Sa 17.03.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich hab mal [mm] a_{n+1}-a_n [/mm] ausgerechnet und bin auf
[mm] a_{n+1}-a_n=\br{7}{(n+2)(n+3)}
[/mm]
gekommen. Da die rechte Seite > 0 ist, ist [mm] a_n [/mm] monoton wachsend.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Sa 17.03.2007 | | Autor: | Aeryn |
Hallo Ullim!
Könntest du mir sagen wie du das gerechnet hast. Irgendwie kann ich das ergebnis nicht nachvollziehen.
LG Aeryn
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Hallo,
könntest Du mal sagen, um welche Folge [mm] (a_n) [/mm] es eigentlich geht?
EDIT: Nicht mehr nötig, jetzt hab' ich's geblickt!
Gruß v. Angela
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Hallo Aeyrn,
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") dass ich mich einmische, aber vielleicht hilft dir weiter, dass man
[mm] a_{n+1}-a_n=\bruch{9\cdot{}(n+1)^{2} - 6\cdot{}(n+1) +1}{3\cdot{}(n+1)^{2} + 5\cdot{}(n+1) - 2} [/mm] - [mm] \bruch{9n^{2}-6n+1}{3n^{2}+5n-2} [/mm]
faktorisieren kann zu
[mm] \bruch{(3n+2)^2}{(n+3)(3n+2)}-\bruch{(3n-1)^2}{(n+2)(3n-1)}
[/mm]
So kann man schneller den Hauptnenner finden, als wenn man alles ausmultipliziert
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Sa 17.03.2007 | | Autor: | Aeryn |
Hi!
Faktorisieren: mag sein, dass das stimmt, aber damit hab ichs nicht so und wir haben bisher alles ausmultipliziert.
Lg
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Moin nochmal,
ja das kannst du natürlich machen und wirst bei richtiger Rechnung auch auf das Ergebnis von ullim kommen, aber der Rechen- und Zeitaufwand dabei ist ja immens, außerdem ist die Fehleranfälligkeit höher.
Wenn möglich, Rechnungen immer abkürzen und vereinfachen 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Sa 17.03.2007 | | Autor: | Aeryn |
Hello noch mal!
Also, aber theoretisch, wenn ich es durchrechne, müsste doch das gleiche rauskommen! durch die vereinfachung:
[mm] \bruch{3n+2}{n+3} [/mm] - [mm] \bruch{3n-1}{n+2} [/mm] .
zum weiterberechnen: (3n+2)*(n+2) - (3n-1)*(n+3)=0
als ergebnis bekomme ich 7.
aber als definition für monoton wachsend habe ich: [mm] a_{n+1} \ge a_{n}
[/mm]
und für streng monoton wachsend: [mm] a_{n+1} [/mm] > [mm] a_{n}
[/mm]
also wäre es nicht monoton wachsend sondern streng monoton wachsend, oder?
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Hallo Aoyrn,
ja du hast Recht, das Ding ist sogar [mm] \bold{streng} [/mm] monoton steigend,
aber vergiss den Nenner nicht.
Du hast ja den Zähler richtig zu 7 ausgerechnet und zusammengefasst,
bleibt am Ende also - wie ullim schon angegeben hat [mm] \bruch{7}{(n+2)(n+3)} [/mm] übrig.
Nun sind [mm] \bold{sowohl} [/mm] Zähler als auch Nenner für alle [mm] n\in\IN [/mm] echt größer als Null, also ist [mm] a_{n+1}-a_n>0, [/mm] also die Folge [mm] (a_n)_n [/mm] streng monoton steigend
Gruß
schachuzipus
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