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| Aufgabe | Use logarithmic Differentiation to find f'(x)/f(x)
[mm] f(x)=\pmat{\bruch{x+1}{x-1}}^{\bruch{1}{3}} [/mm] |
[mm] lny=\bruch{1}{3}ln\pmat{\bruch{x+1}{x-1}}
[/mm]
Aber wie leite ich das richtig ab? SO?
[mm] \bruch{y'}{y}=\bruch{1}{3}\pmat{\bruch{x-1}{x+1}}\pmat{\bruch{-2x}{x-1^2}}
[/mm]
Die Ergebnisse in meinem Buch geben mir vor, dass ich auf [mm] -\bruch{2}{3}(x^2-1) [/mm] kommen muss. Wer kann mir das erklären?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:09 So 27.09.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Use logarithmic Differentiation to find f'(x)/f(x)
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> [mm]f(x)=\pmat{\bruch{x+1}{x-1}}^{\bruch{1}{3}}[/mm]
> [mm]lny=\bruch{1}{3}ln\pmat{\bruch{x+1}{x-1}}[/mm]
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> Aber wie leite ich das richtig ab?
Die Funktion [mm] $p(x):=\ln y:\equiv \ln(f(x))$ [/mm] läßt sich als Verkettung der Funktionen [mm] $g(x):=\frac{1}{3}\ln(x)$ [/mm] und [mm] $h(x):=\frac{x+1}{x-1}$ [/mm] schreiben:
[mm] $$p(x)=\ln(f(x))=(g \circ h)(x)\;\;\; (\text{bzw. } p=\ln [/mm] f=g [mm] \circ h)\,.$$
[/mm]
Nun gilt einerseits mithilfe der Kettenregel
[mm] $$(I)\;\;\;p'(x)=(\ln(f(x)))'=\frac{d}{dx}\ln(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)},\,$$
[/mm]
andererseits ist nach der Kettenregel auch
[mm] $$(II)\;\;\;p'(x)=((g \circ h)(x))'=\frac{d}{dx}(g \circ h)(x)=\blue{g'(h(x))*h'(x)}\,.$$
[/mm]
Mit [mm] $g'(x)=\frac{1}{3x}$ [/mm] ist [mm] $g'(h(x))=\frac{1}{3*h(x)}=\frac{1}{3}*\frac{x-1}{x+1},\,$ [/mm] und mit der Quotientenregel folgt
[mm] $$h'(x)=\frac{(x+1)'*(x-1)-(x+1)*(x-1)'}{(x-1)^2}=\frac{x-1-(x+1)}{(x-1)^2}=\frac{-2}{(x-1)^2}\,.$$
[/mm]
Unsere Ergebnisse von $g'(h(x))$ und $h'(x)$ sind nun einfach nur noch oben einzusetzen, nachdem man [mm] $(I)\,$ [/mm] und [mm] $(II)\;$ [/mm] gleichgesetzt hat.
P.S.:
Es sollte sich (mithilfe der 3. bin. Formel) dann
[mm] $$\frac{f'(x)}{f(x)}=-\frac{2}{3}*\frac{1}{x^2-1}$$
[/mm]
(und nicht [mm] $-\bruch{2}{3}\red{(x^2-1)}$) [/mm] ergeben.
P.P.S.:
Beachte auch, dass die Fkt. [mm] $p(x):=\ln(f(x))$ [/mm] auf $|x| [mm] \le [/mm] 1$ nicht definiert ist!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 So 27.09.2009 | | Autor: | toteitote |
Danke sehr. Tolle Erklärung! Gruß, Tiemo
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:12 So 27.09.2009 | | Autor: | Marcel |
P.S.:
Deine Fehler:
> Aber wie leite ich das richtig ab? SO?
>
> [mm]\bruch{y'}{y}=\bruch{1}{3}\pmat{\bruch{x-1}{x+1}}\pmat{\bruch{-2\red{x}}{\red{(}x-1\red{)}^2}}[/mm]
Das rotgeschriebene [mm] $x\,$ [/mm] ist zuviel, die rotgeschriebenen Klammern haben bei Dir im Nenner gefehlt!
Gruß,
Marcel
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