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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:11 Di 19.06.2007 | | Autor: | Simeon |
| Aufgabe | suche für limes x->0 den grenzwert der funktion:
[mm] (1/x^2)ln(sinx/x) [/mm] |
das ganze mit bernoulli, aber ich kriege es einfach nicht.. brauche zwischenschritte..habs schon stundenlang probiert..aber es geht nicht. ergebniss soll sein -1/6
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> suche für limes x->0 den grenzwert der funktion:
> [mm](1/x^2)ln(sinx/x)[/mm]
> das ganze mit bernoulli, aber ich kriege es einfach
> nicht.. brauche zwischenschritte..habs schon stundenlang
> probiert..aber es geht nicht. ergebniss soll sein -1/6
Hallo,
um Bernoulli-Hospital anwenden zu können, brauchst Du ja [mm] \bruch{0}{0} [/mm] oder [mm] \bruch{\infty}{\infty}.
[/mm]
Das habe ich mir eben erzeugt und bin nach zwar mehrzeiliger, aber endlicher, Rechnung zum Ziel gekommen.
Ich sage Dir grob, wie ich es gemacht habe:
Es ist [mm] (1/x^2)ln(sinx/x)=\bruch{x^{-3}ln(\bruch{sinx}{x})}{x^{-1}}.
[/mm]
Ich habe also [mm] (1/x^2)ln(sinx/x) [/mm] so aufgepustet, daß ich beim Grenzwert die Situation [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] habe.
Nun habe ich Bernoulli-Hospital verwendet mit folgendem Ergebnis:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(1/x^2)ln(sinx/x) =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x^{-3}ln(\bruch{sinx}{x})}{x^{-1}} =3\limes_{x\rightarrow\infty}(1/x^2)ln(sinx/x) +\limes_{x\rightarrow\infty}blabla
[/mm]
==> [mm] -2\limes_{x\rightarrow\infty}(1/x^2)ln(sinx/x) =\limes_{x\rightarrow\infty}blabla,
[/mm]
und diesen [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}blabla [/mm] habe ich durch wiederholten Bernoulli-Hospital unter Kontrolle bekommen.
Gruß v. Angela
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