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l'Hospital Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:19 So 10.02.2008
Autor: NightmareVirus

Aufgabe
Zeige: [mm] \bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{sin(x)} \to [/mm] 0  für  x [mm] \to [/mm] 0, x [mm] \not= [/mm] 0

Also ich hab das ganze wie folgt versucht:

[mm] \bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{sin(x)} [/mm]

= [mm] \bruch{sin(x)-x}{x*sin(x)} [/mm] =: [mm] \bruch{f(x)}{g(x)} [/mm]

da sowohl Zähler als auch Nenner für x [mm] \to [/mm] 0  gegen 0 gehen, wende ich l'Hospital an:

[mm] \bruch{f'(x)}{g'(x)} [/mm]
= [mm] \bruch{cos(x)-1}{sin(x)+x*cos(x)} [/mm]    mit [mm] \bruch{x^{2}}{x^{2}} [/mm] erweitern

[mm] =\bruch{cos(x)-1}{x^{2}} [/mm] * [mm] \bruch{x^{2}}{sin(x)+x*cos(x)} [/mm]

[mm] =\bruch{cos(x)-1}{x^{2}} [/mm] * [mm] \bruch{x}{\bruch{sin(x)}{x}+cos(x)} [/mm]

so an dieser Stell hänge ich fest.


Angeblich konvergiert der letzte teil gegen

- [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{0}{1+1} [/mm]

Also bei dem 2. Bruch hab ich den Ansatz, dass für x [mm] \to [/mm] 0 folgendes passiert:

x [mm] \to [/mm] 0
[mm] \bruch{sin(x)}{x}+cos(x) \to \bruch{0}{0} [/mm] + 1

aber das sieht auch irgendwie nicht so aus wieder 2. Bruch :-/

danke schonma für die Hilfe!

        
Bezug
l'Hospital Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:26 So 10.02.2008
Autor: angela.h.b.


> Zeige: [mm]\bruch{1}{x}[/mm] - [mm]\bruch{1}{sin(x)} \to[/mm] 0  für  x [mm]\to[/mm]
> 0, x [mm]\not=[/mm] 0
>  Also ich hab das ganze wie folgt versucht:
>  
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] - [mm]\bruch{1}{sin(x)}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{sin(x)-x}{x*sin(x)}[/mm] =: [mm]\bruch{f(x)}{g(x)}[/mm]
>  
> da sowohl Zähler als auch Nenner für x [mm]\to[/mm] 0  gegen 0
> gehen, wende ich l'Hospital an:
>  
> [mm]\bruch{f'(x)}{g'(x)}[/mm]
> = [mm]\bruch{cos(x)-1}{sin(x)+x*cos(x)}[/mm]

Hallo,

hier hast Du doch wieder die Situation [mm] \bruch{0}{0}, [/mm] wende doch einfach erneut l'Hospital an.

Gruß v. Angela

Bezug
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