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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:20 Di 15.07.2008 | | Autor: | ck2000 |
| Aufgabe | Für R>0 a [mm] \in \C [/mm] mit |a| < R und 0 [mm] \le \alpha [/mm] < [mm] 2\pi
[/mm]
sei f gegeben durch
w = f(z) = [mm] e^{i\alpha} \bruch {R(z-\alpha)}{R^2-\overline{a}z}.
[/mm]
Beweisen Sie
f bildet die Kreisscheibe {z [mm] \in \C [/mm] : |z| < R } biholomorph auf die offene Einheitskreisscheibe ab, und erfüllt f (a) = 0 sowie f´(a) = [mm] \alpha.
[/mm]
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Biholomorph bedeutet, doch, dass f holomorph ist und f´an keiner Stelle verschwindet.
Aber wie kann ich zeigen ,dass diese Kreisscheibe auch wirklich auf der offenen Einheitskreisscheibe abgebildet wird?
genügt es wie bei den üblichen Möbiustransformationen die Bilder von drei Punkten zu bestimmen?
Denn diese Abbildung setzt sich ja aus einer Drehung und einer Möbius transformation zusammen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:34 Di 15.07.2008 | | Autor: | fred97 |
f ist eine Moebiustransformation. Ich hoffe Du weißt, wie Du die Umkehrabb. [mm] f^{-1} [/mm] berchenest. Klar ist auch , dass f injektiv ist.
Du mußt 2 Dinge nachweisen:
1. Ist |z| < R, so ist |f(z)|<1
2. Ist |w| < 1, so ex. ein z mit |z| < R so, dass f(z) = w
FRED
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