integration über lagrangebasis < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Mo 08.02.2010 | | Autor: | Phecda |
hallo
ich versuche das integral über die Summe Lagrangebasis auszuführen:
[mm] \integral_{a}^{b}{\summe_{i=1}^{n}L_i^n(x) dx} [/mm] mit [mm] L_i^n(x) [/mm] = [mm] \produkt_{i=0,i\not=j}^{n}\bruch{x-x_j}{x_i-x_j}
[/mm]
Offensichtlich gilt [mm] L_i^n(x_j)= \delta_{ij}
[/mm]
Ich glaube das Integral über die Summe der Lagrangebasis ist (b-a). Weiß aber nicht wie ich das begründen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Mo 08.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> hallo
> ich versuche das integral über die Summe Lagrangebasis
> auszuführen:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\summe_{i=1}^{n}L_i^n(x) dx}[/mm] mit [mm]L_i^n(x)[/mm]
Bist du dir sicher, dass du [mm] $\sum_{i=1}^n L_i^n(x)$ [/mm] haben willst? Und nicht [mm] $\sum_{i=0}^n L_i^n(x)$? [/mm] Ich gehe mal von zweiterem aus.
> = [mm]\produkt_{i=0,i\not=j}^{n}\bruch{x-x_j}{x_i-x_j}[/mm]
>
> Offensichtlich gilt [mm]L_i^n(x_j)= \delta_{ij}[/mm]
> Ich glaube das
> Integral über die Summe der Lagrangebasis ist (b-a). Weiß
> aber nicht wie ich das begründen soll.
Nun, schau dir das Polynom $f(x) := [mm] \sum_{i=0}^n L_i^n(x) [/mm] - 1$ an. Es gilt [mm] $f(x_i) [/mm] = 0$ fuer $i = 0, [mm] \dots, [/mm] n$. Weiterhin gilt [mm] $\deg [/mm] f [mm] \le [/mm] n$ (warum?). Daraus folgt aber $f = 0$, also [mm] $\sum_{i=0}^n L_i^n(x) [/mm] = 1$ (fuer alle $x$!), womit dein Integral gleich $b - a$ ist.
LG Felix
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