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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - inhomogene Diff-Gl
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inhomogene Diff-Gl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:27 Di 07.02.2012
Autor: zoj

Aufgabe
Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem:
[mm] \vektor{\dot{x_{1}}\\\dot{x_{2}}} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}\pmat{7 & 1 \\ -1 & 5}\vektor{x_{1}\\x_{2}}+\vektor{2\\-4}, x_{1}(0)=2, x_{2}(0)=1. [/mm]

Habe eine Frage zu der Eigenwertzerlegung von A = [mm] VJV^{-1}. [/mm]

[mm] J=\pmat{ 3 & 1 \\ 0 & 3 } [/mm]

Woher kommt die 1 in der oberen rechten Ecke?
Bei der Eigenwertzerleguing von homogenen DGL's standen die Eigenwerte auf der Diagonalen, die restlichen Werte waren Null.



        
Bezug
inhomogene Diff-Gl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:36 Di 07.02.2012
Autor: donquijote


> Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem:
>  [mm]\vektor{\dot{x_{1}}\\\dot{x_{2}}}[/mm] = [mm]\frac{1}{2}\pmat{7 & 1 \\ -1 & 5}\vektor{x_{1}\\x_{2}}+\vektor{2\\-4}, x_{1}(0)=2, x_{2}(0)=1.[/mm]
>  
> Habe eine Frage zu der Eigenwertzerlegung von A =
> [mm]VJV^{-1}.[/mm]
>  
> [mm]J=\pmat{ 3 & 1 \\ 0 & 3 }[/mm]
>  
> Woher kommt die 1 in der oberen rechten Ecke?
>  Bei der Eigenwertzerleguing von homogenen DGL's standen
> die Eigenwerte auf der Diagonalen, die restlichen Werte
> waren Null.
>  
>  

Stichwort Jordansche Normalform
Diese Matrix ist nicht diagonalisierbar, da 3 als einziger Eigenwert die geometrische Vielfachheit 1 hat, es gibt somit keine Basis aus Eigenvektoren.

Bezug
                
Bezug
inhomogene Diff-Gl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:00 Di 07.02.2012
Autor: zoj

Aha,
dann würde also theoretisch bei einer nicht Daigonasisierbaren Matrix mit dem doppelten Eigenwert a folgende Jordanmatrix rauskommen: [mm] \pmat{a & 1\\0 & a} [/mm]
richtig?


V= [mm] \pmat{1&1 \\ -1 & 1} [/mm] , [mm] V^{-1} =\pmat{\frac{1}{2}&-\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}} [/mm]
=>  [mm] \pmat{1&1 \\ -1 & 1} \pmat{e^{3t}&te^{3t}\\0&e^{3t}} \pmat{\frac{1}{2}&-\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}}\vektor{x1(0)\\x2(0)} [/mm]
Was mich bei der weiteren Rechnung aufhält, ist das [mm] te^{3t}. [/mm] Sollte da nicht [mm] e^{t} [/mm] stehen?



Bezug
                        
Bezug
inhomogene Diff-Gl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:28 Di 07.02.2012
Autor: donquijote


> Aha,
>  dann würde also theoretisch bei einer nicht
> Daigonasisierbaren Matrix mit dem doppelten Eigenwert a
> folgende Jordanmatrix rauskommen: [mm]\pmat{a & 1\\0 & a}[/mm]
>  
> richtig?

ja

>  
>
> V= [mm]\pmat{1&1 \\ -1 & 1}[/mm] , [mm]V^{-1} =\pmat{\frac{1}{2}&-\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}}[/mm]
>  
> =>  [mm]\pmat{1&1 \\ -1 & 1} \pmat{e^{3t}&te^{3t}\\0&e^{3t}} \pmat{\frac{1}{2}&-\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}}\vektor{x1(0)\\x2(0)}[/mm]

>  
> Was mich bei der weiteren Rechnung aufhält, ist das
> [mm]te^{3t}.[/mm] Sollte da nicht [mm]e^{t}[/mm] stehen?

Das System [mm] \vektor{x'\\y'}=\pmat{a & 1\\0 & a}\vektor{x\\y} [/mm] hat Lösungen der Form
[mm] \vektor{x\\y}=\vektor{t*e^{at}\\e^{at}} [/mm] und [mm] \vektor{x\\y}=\vektor{e^{at}\\0} [/mm]
(und Linearkombinationen davon), was man durch einsetzen nachprüfen kann.
Dies ist ein Sonderfall der allgemeinen Lösung eines linearen Differentialgleichungssystems, wenn die Koeffizientenmatrix nicht diagonalisierbar ist.

>  
>  


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