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Hallo,
ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
Seien I [mm] \subset \IR [/mm] offenes Intervall, G [mm] \subset \IR^N [/mm] offen, f : [mm] \Omega [/mm] = G [mm] \times [/mm] I [mm] \to \IR [/mm] stetig und [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_{N+1}}(y,z) [/mm] existiere und sei stetig auf [mm] \Omega. [/mm] Ferner gelte [mm] \forall [/mm] (y,z) [mm] \in \Omega [/mm] : [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_{N+1}}(y,z) \not= [/mm] 0.
i) Zu jedem y [mm] \in [/mm] G gebe es ein a [mm] \in [/mm] I und ein b [mm] \in [/mm] I mit f(y,a) < 0 < f(y,b). Zeigen Sie, dass es eine stetige Funktion g : G [mm] \to [/mm] I gibt mit [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] G : f(y,g(y)) = 0.
Zeigen Sie ausserdem, dass aus (y,z) [mm] \in \Omega [/mm] und f(y,z) = 0 folgt: z = g(y).
ii) Es gebe [mm] y_0 \in [/mm] G und ein [mm] t_0 \in [/mm] I mit [mm] f(y_0,t_0) [/mm] = 0. Zeigen Sie, dass es dann eine Umgebung U [mm] \subset [/mm] G von [mm] y_0 [/mm] und eine stetige Funktion g : U [mm] \to [/mm] I gibt, so dass [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] U : f(y,g(y)) = 0, und aus (y,z) [mm] \in [/mm] U [mm] \times [/mm] I und f(y,z) = 0 folgt: z = g(y).
Wie geht man vor, wenn man die Stetigkeit von g in Teil i) beweisen will?
Hinweise (evtl. auch vollständige Lösung) wären ganz nett.
Vilen Dank im Voraus.
logarithmus
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