gleichmäßige konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:22 So 28.05.2006 | | Autor: | VHN |
| Aufgabe | Sei a, b in [mm] \IR, [/mm] a < b, und sei [mm] (f_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine Folge stetiger Funktionen [mm] f_{n} [/mm] : [a,b] [mm] \to \IR^{N}.
[/mm]
Es gelte
(i) Die Folge [mm] (f_{n} (a))_{n \in \IN} [/mm] ist beschränkt.
(ii) Die Folge [mm] (f_{n})_{n \in \IN} [/mm] ist gleichgradig gleichmäßig stetig, d.h.
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 exists [mm] \delta [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] x, y [mm] \in [/mm] [a,b] [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : |x-y| [mm] \le \delta \Rightarrow |f_{n}(x) [/mm] - [mm] f_{n}(y)| \le \varepsilon [/mm]
zu zeigen: Die folge [mm] (f_{n})_{n \in \IN} [/mm] besitzt eine teilfolge, welche auf [a,b] gleichmäßig konvergiert.
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Hallo leute!
Ich habe für die lösung dieser aufgabe als tipp bekommen, dass ich zunächst mithilfe eines diagonalfolgenarguments zuerst eine teilfolge konstruieren soll, die auf einer abzählbaren dichten teilmenge von [a,b] punktweise konvergiert.
Meine frage wäre erstens, was ein solches diagonalfolgenargument ist und wie ich dadurch eine gewünschte teilfolge konstruieren kann?
Meine zweite frage wäre: ist ]a,b[ eine dichte teilmenge von [a,b]?
und wenn ja, ist sie dann auch abzählbar, oder muss ich dann a,b in [mm] \IQ [/mm] wählen?
Ich hoffe, ihr könnt mir bei dieser aufgabe helfen und mir tipps geben. Vielen dank!
VHN
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Crispy |
Hallo,
das ist genau der Satz von Arzela und Ascoli.
Den Beweis gibt es sehr häufig in der Literatur und auch im Internet zu finden.
Falls jemand Lust hat, kann er ihn hier noch gerne ausführen - der Beweis ist aber schon relativ lang.
Viele Grüße,
Crispy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 01.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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