differenzierbar=stetig? < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:05 Sa 18.06.2011 | | Autor: | BigDeal |
| Aufgabe | Selbst erdacht:
Prüfen Sie die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} x+1, & \mbox{für } x>0 \\ x, & \mbox{für } x<0 \end{cases}
[/mm]
Auf Differenzierbarkeit.
Wie verträgt sich das mit dem Satz, dass differenzierbare Funktionen stetig sind? |
Hallo,
die Funktion ist offensichtlich nicht stetig sondern macht bei 0 einen Sprung um 1 nach oben.
Nun prüfe ich auf stetigkeit:
Eine Funktion f(x) ist an der Stelle [mm] x_0 [/mm] differenzierbar, wenn folgender Grenzwert (beidseitiger Grenzwert) existiert:
[mm] f'(x_0)=\limes_{x\rightarrow\x_0}=\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
[/mm]
für unser Beispiel folgt:
[mm] f'(0)=\limes_{x\rightarrow\0+0}=\bruch{x-0}{x-0}=1 [/mm] (linksseitiger Grenzwert)
[mm] f'(0)=\limes_{x\rightarrow\0-0}=\bruch{x+1-1}{x-0}=1 [/mm] (rechtsseitiger Grenzwert)
Offensichtlich ist die Funktion differenzierbar und genauso offensichtlich ist Sie nicht stetig.
Wie Würde man zeigen, dass [mm] f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] an der stelle [mm] x_0=0 [/mm] nicht differenzierbar ist? Man kann schließlich für [mm] f(x_0) [/mm] nichts einsetzen um den Grenzwert nach obiger Formel zu berechnen.
Vielen dank für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 Sa 18.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Selbst erdacht:
> Prüfen Sie die Funktion
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x+1, & \mbox{für } x>0 \\ x, & \mbox{für } x<0 \end{cases}[/mm]
>
> Auf Differenzierbarkeit.
> Wie verträgt sich das mit dem Satz, dass differenzierbare
> Funktionen stetig sind?
> Hallo,
> die Funktion ist offensichtlich nicht stetig sondern macht
> bei 0 einen Sprung um 1 nach oben.
>
> Nun prüfe ich auf stetigkeit:
>
> Eine Funktion f(x) ist an der Stelle [mm]x_0[/mm] differenzierbar,
> wenn folgender Grenzwert (beidseitiger Grenzwert)
> existiert:
>
> [mm]f'(x_0)=\limes_{x\rightarrow\x_0}=\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
>
> für unser Beispiel folgt:
>
> [mm]f'(0)=\limes_{x\rightarrow\0+0}=\bruch{x-0}{x-0}=1[/mm]
> (linksseitiger Grenzwert)
>
> [mm]f'(0)=\limes_{x\rightarrow\0-0}=\bruch{x+1-1}{x-0}=1[/mm]
> (rechtsseitiger Grenzwert)
>
> Offensichtlich ist die Funktion differenzierbar und genauso
> offensichtlich ist Sie nicht stetig.
Na, na, immer schön langsam.
Damit man von Differenzierbarkeit in [mm] x_0=0 [/mm] überhaupt sprechen kann ( genauso bei Stetigkeit) muß Deine selbsterdachte Funktion in [mm] x_0 [/mm] =0 definiert sein !!! Das ist sie aber nicht.
Hier
[mm]f'(0)=\limes_{x\rightarrow\0+0}=\bruch{x-0}{x-0}=1[/mm]
(linksseitiger Grenzwert)
tust Du so, als sei f(0)=0.
Und hier
[mm]f'(0)=\limes_{x\rightarrow\0-0}=\bruch{x+1-1}{x-0}=1[/mm]
(rechtsseitiger Grenzwert)
tust Du so, als sei f(0)=1.
So kann man das nicht machen.
FRED
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> Vielen dank für eure Hilfe.
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Huhu,
und um fred's Antwort zu ergänzen:
Durch dein Weglassen der 0 im Definitionsbereich, ist deine Funktion sehr wohl überall differenzierbar und auch überall stetig.
MFG,
Gono.
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