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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:53 Mi 04.05.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | a) Zeige, dass [mm] $f(P,Q)=\integral_{0}^{1}P(t)Q(t)dt$ [/mm] eine bilineare Abbildung [mm] $\IR\left[t\right] \times \IR\left[t\right] \rightarrow \IR$ [/mm] definiert.
b) Berechne die "Länge" von P(t)=t
c) Sei [mm] $\phi$ [/mm] der "Winkel" zwischen $P(t)=t$ und [mm] $Q(t)=t^{2}$. [/mm] Berechne $cos [mm] \phi$. [/mm] |
Hallo,
a) es ist
[mm] $\forall [/mm] A,B,C [mm] \in \IR, [/mm] \ \ P(t),Q(t),h(t) [mm] \in \IR\left[t\right]$
[/mm]
links : [mm] $\integral_{0}^{1}(AP(t)+BQ(t)h(t)dt=A\integral_{0}^{1}P(t)h(t)dt [/mm] + B [mm] \integral_{0}^{1}Q(t)h(t)dt$
[/mm]
rechts: [mm] $\integral_{0}^{1}(P(t))(AQ(t)+Bh(t)dt=A\integral_{0}^{1}P(t)h(t)dt [/mm] + [mm] B\integral_{0}^{1}Q(t)h(t)dt$
[/mm]
b) die Länge beträgt ||t||
c) Der Winkel beträgt dasselbe wie beim Skalarprodukt!
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:31 Do 05.05.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> a) Zeige, dass [mm]f(P,Q)=\integral_{0}^{1}P(t)Q(t)dt[/mm] eine
> bilineare Abbildung [mm]\IR\left[t\right] \times \IR\left[t\right] \rightarrow \IR[/mm]
> definiert.
>
> b) Berechne die "Länge" von P(t)=t
>
> c) Sei [mm]\phi[/mm] der "Winkel" zwischen [mm]P(t)=t[/mm] und [mm]Q(t)=t^{2}[/mm].
> Berechne [mm]cos \phi[/mm].
>
> Hallo,
>
>
> a) es ist
> [mm]\forall A,B,C \in \IR, \ \ P(t),Q(t),h(t) \in \IR\left[t\right][/mm]
>
> links :
> [mm]\integral_{0}^{1}(AP(t)+BQ(t)h(t)dt=A\integral_{0}^{1}P(t)h(t)dt + B \integral_{0}^{1}Q(t)h(t)dt[/mm]
>
> rechts:
> [mm]\integral_{0}^{1}(P(t))(AQ(t)+Bh(t)dt=A\integral_{0}^{1}P(t)h(t)dt + B\integral_{0}^{1}Q(t)h(t)dt[/mm]
Ja, das stimmt.
> b) die Länge beträgt ||t||
Nein, die "Länge" muss eine reelle Zahl sein. Da [mm] $f(\cdot,\cdot)$ [/mm] eine symmetrische, positiv definite Bilinearform [mm]\IR[t] \times \IR[t] \to \IR[/mm] ist, also ein Skalarprodukt, ist die Länge von $P(t)$ gerade [mm] $\sqrt{f(P(t),P(t))}$. [/mm] Jetzt nur noch einsetzen und ausrechnen.
> c) Der Winkel beträgt dasselbe wie beim Skalarprodukt!
Wie bei welchem Skalarprodukt? Es ist [mm] $cos(\phi)=\frac{f(P(t),Q(t)}{\sqrt{f(P(t),P(t))}\sqrt{f(Q(t),Q(t))}}$.
[/mm]
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:14 Do 05.05.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo!
> Korrektur
Danke!!!
> LG
Gruss
kushkush
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