bedingte W'keiten < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:01 Do 04.06.2015 | | Autor: | nkln |
| Aufgabe | Gegeben sei ein W'raum$ [mm] (\Omega,F,P) [/mm] $ und drei Ereignisse$ A,B,C [mm] \in [/mm] F$ mit $P(B [mm] \cap [/mm] C) > 0$ und $P(B) <1$. Betrachten sie hierzu folgende Aussagen:
Es gilt
i) [mm] P(A|B)+P(A|B^c)=1
[/mm]
$ii) P(A [mm] \cap B|C)=P(A|B\cap [/mm] C)P(B|C)$
Beweisen sie oder widerlegen sie diese Aussagen |
$i) [mm] P(A|B)+P(A|B^c)=1$
[/mm]
satz von bayes auf beide Summanden angewandt . $P(A|B) = [mm] \frac{ P(B|A)*P(A)}{P(B)}$
[/mm]
[mm] $P(A|B^c) [/mm] = [mm] \frac{ P(B^c|A)*P(A)}{P(B^c)}$
[/mm]
Wähle [mm] $\Omega [/mm] := [mm] \{1,2,3\} [/mm] $und $A:= [mm] \{1\} [/mm] ,B:= [mm] \{2\}$ [/mm] dann ist [mm] $B^c:= \{1,3\}$
[/mm]
[mm] $P(B^c|A)= \frac{| A \cap B^c|}{|\Omega|}=\frac{1}{3}$
[/mm]
$P(B|A)= P(A) *P(B)= [mm] \frac{2}{3}$ [/mm] , da $A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset [/mm] $
$P(A)= [mm] \frac{| A |}{|\Omega|}=\frac{1}{3}$
[/mm]
$P(B)= [mm] \frac{| B |}{|\Omega|}=\frac{1}{3}$
[/mm]
[mm] $P(B^c)= \frac{| B^c |}{|\Omega|}=\frac{2}{3}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow P(A|B)+P(A|B^c)= \frac{ P(B|A)*P(A)}{P(B)}+ \frac{ P(B^c|A)*P(A)}{P(B^c)}=\frac{ \frac{2}{3}*\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}+\frac{ \frac{1}{3}*\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}+\frac{1}{6} \neq [/mm] 1$ widerspruch zur annahme
bei der ii) hab ich keine Ahnung :/
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Do 04.06.2015 | | Autor: | luis52 |
> bei der ii) hab ich keine Ahnung :/
Moin, schreibe mal $P(A [mm] \cap [/mm] B|C)$, [mm] $P(A|B\cap [/mm] C)$ und $P(B|C)$ ausfuehrlich auf ...
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