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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Mi 02.02.2005 | | Autor: | VHN |
hallo, an alle!
Ich hätte da ein kleines Problem, bei dem ihr mir hoffentlich helfen könnt. 
Wie bestimme ich den Wert von [mm] arctan(\bruch{1}{\wurzel{3}}?
[/mm]
Ich weiß zwar, dass [mm] arctan(\bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}\pi [/mm] ist, aber wie komme ich drauf?
Ich habe die Lösung einfach so hingeklatscht bekommen, aber ich weiß nicht, wie man drauf kommt. Kann man sich den Wert irgendwie aus anderen Formeln herleiten?
Ich würde auch gerne wissen, warum arctan(x), wobei x [mm] \to \infty, \bruch{1}{2}\pi [/mm] ist. Damit meine ich, wie ich mir den Wert durch Rechnung oder sonst wie herleiten kann.
danke für eure Hilfe!
Ciao!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Max |
Also,da [mm] $\arctan$ [/mm] ja die Umkehrfunktion zu [mm] $\tan$ [/mm] ist reicht es nachzuweisen, dass [mm] $tan(\frac{\pi}{6}) [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{3}}$ [/mm] ist.
Es gilt ja, dass [mm] $\tan(\alpha):=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$. [/mm] Diese Funktionen werden am Einheitskreis definiert. Es gilt [mm] $\cos(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}\sqrt{3}$ [/mm] und [mm] $\sin(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$. [/mm] Damit ergibt sich der entsprechende Tangenswert.
Bestimmt man den Grenzwert
[mm] $\lim_{\alpha \to \frac{\pi}{2}} tan(\alpha) [/mm] = [mm] \lim_{h \to 0} \frac{\sin(\frac{\pi}{2}+h)}{cos(\frac{\pi}{2}+h} [/mm] = [mm] \lim_{h \to 0} \frac{\cos(h)}{\sin(h)} [/mm] = [mm] \lim_{h \to 0} \frac{1-\frac{h^2}{4}+\cdots}{h - \frac{h^3}{6}+\cdots}= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
sieht man, natürlich auch, dass entsprechendes für die Umkehrfunktion gilt.
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