Äquivalenz von Metriken < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei X eine Menge und d und d´ zwei Metriken auf X. Dann heißen d und d´topologisch äquivalent falls:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X und [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \varepsilon [/mm] ´> 0: ) [mm] K_{d} [/mm] (x, [mm] \varepsilon [/mm] ´) [mm] \subset K_{d } [/mm] ´ (x, [mm] \varepsilon [/mm] )
und
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X und [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \varepsilon [/mm] ´> 0: [mm] K_{d } [/mm] ´ (x, [mm] \varepsilon [/mm] ´) [mm] \subset K_{d} [/mm] (x, [mm] \varepsilon [/mm] )
a) Seien d und d´zwei äquivalente Metriken auf X. Man zeige, dass eine Folge [mm] x_{1} [/mm] , [mm] x_{2} [/mm] , [mm] ...\in [/mm] X genau dann bezüglich d konvergiert, wenn sie bezüglich d´ konvergiert und die Grenzwerte sind identisch. |
Also ich habe gar keine Ansätze und brauche Hilfe bei dieser Aufgabe, wäre echt froh, wenn mir jemand helfen kann.
Danke
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Hallo looney_tune
Ich nehme an, dass du mit $\ [mm] K_d(x,\epsilon) [/mm] $ folgende Menge meinst:
[mm] K_d(x,\epsilon) = \{y \in X | d(x,y) < \epsilon \} [/mm]
In der Aufgabe wird wohl ebenfalls die topologische Äquivalenz gemeint.
Was ist nun die Definition von einer konvergenten Folge in einem topologischen Raum? Damit hast dann schon fast die Antwort / den Beweis. Natürlich musst du dann die Eigenschaft topologisch Äquivalent benützen um die Aussagen zu zeigen.
Gruss
physicus
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danke für deine Antwort, jetzt ist mir das klar geworden, werde es jetzt mal versuchen:)
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