Äquivalenz inh, surj, bij < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige: Seien V,W Vektorräume mit [mm] dim(V)=dim(W)=n<\infty [/mm] , sei [mm] f:V\to [/mm] W eine lin. Abb. Dann gilt: f injektiv [mm] \Leftrightarrow [/mm] f surjektiv [mm] \Leftrightarrow [/mm] f bijektiv |
Mein Überlegung war
f injektiv [mm] \Leftrightarrow [/mm] ker [mm] f=\{0\} \Leftrightarrow [/mm] (mit Dimensionsformel) dim(im f)=dim(V) [mm] \Leftrightarrow [/mm] im f = dim V (Äquivalenz da im f ein Untervektorraum von V ist) [mm] \Leftrightarrow [/mm] f surjektiv
Bei keiner dieser Äquivalenzen sehe ich ein Problem mit dim V [mm] \neq [/mm] dim W, aber die muss ja irgendwo sein.
Grüße, tk
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> Zeige: Seien V,W Vektorräume mit [mm]dim(V)=dim(W)=n<\infty[/mm] ,
> sei [mm]f:V\to[/mm] W eine lin. Abb. Dann gilt: f injektiv
> [mm]\Leftrightarrow[/mm] f surjektiv [mm]\Leftrightarrow[/mm] f bijektiv
> Mein Überlegung war
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> f injektiv [mm]\Leftrightarrow[/mm] ker [mm]f=\{0\} \Leftrightarrow[/mm] (mit
> Dimensionsformel) dim(im f)=dim(V) [mm]\Leftrightarrow[/mm] im f =
> dim V (Äquivalenz da im f ein Untervektorraum von V ist)
> [mm]\Leftrightarrow[/mm] f surjektiv
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> Bei keiner dieser Äquivalenzen sehe ich ein Problem mit
> dim V [mm]\neq[/mm] dim W, aber die muss ja irgendwo sein.
Hallo,
aus dim(im f)=dim(V) folgt ohne die Voraussetzung [mm] dim(V)=dim(W)=n<\infty [/mm] nicht die Surjektivität, denn es könnte ja dim(V)=dim(im f)<dim(W) sein.
LG Angela
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> Grüße, tk
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