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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f: [mm] \IR+ \to \IR+ [/mm] mit f(x)= [mm] x^2*e^-^x
[/mm]
Bestimmen sie die absoluten Extrema.
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f'(x)=0; f''(x) [mm] \not=0
[/mm]
f'(x)=e^-^x * [mm] (-x^2+2x)
[/mm]
f''(x)=e^-^x * [mm] (x^2-4x+2)
[/mm]
[mm] (-x^2+2x)
[/mm]
p-q Formel: p=2,q=0
x= [mm] -p/2\pm \wurzel{(p/2)^2-q}
[/mm]
[mm] x=-1\pm [/mm] 1
x1=-2
x2=0
[mm] f''(0)=e^0 [/mm] * [mm] (0^2-4*0+2)
[/mm]
=1*2
=2>0 TP bei x=0
ymax= f(0)= [mm] 0^2 [/mm] * [mm] e^0=0
[/mm]
[mm] 1)\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)= \limes_{x\rightarrow\infty} \infty^2 [/mm] * e^ [mm] \infty=0
[/mm]
[mm] 2)\limes_{x\rightarrow\0}f(x)= \limes_{x\rightarrow\0}x^2 [/mm] * e^-^x=0
Da [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=f(0) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\0}f(x)=f(o)kein [/mm] absoluter TP.
Ist das richtig so,oder habe ich was falsch gemacht????
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Hallo scientyst,
> Gegeben ist die Funktion f: [mm]\IR+ \to \IR+[/mm] mit f(x)=
> [mm]x^2*e^-^x[/mm]
>
> Bestimmen sie die absoluten Extrema.
>
> f'(x)=0; f''(x) [mm]\not=0[/mm]
>
> f'(x)=e^-^x * [mm](-x^2+2x)[/mm]
> f''(x)=e^-^x * [mm](x^2-4x+2)[/mm]
>
>
> [mm](-x^2+2x)[/mm]
>
> p-q Formel: p=2,q=0
>
> x= [mm]-p/2\pm \wurzel{(p/2)^2-q}[/mm]
>
> [mm]x=-1\pm[/mm] 1
hier ist ein Vorzeichenfehler passiert.
>
> x1=-2
> x2=0
>
> [mm]f''(0)=e^0[/mm] * [mm](0^2-4*0+2)[/mm]
>
> =1*2
> =2>0 TP bei x=0
>
> ymax= f(0)= [mm]0^2[/mm] * [mm]e^0=0[/mm]
Das ist jetzt ein Folgefehler. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> [mm]1)\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)= \limes_{x\rightarrow\infty} \infty^2[/mm]
> * e^ [mm]\infty=0[/mm]
Hier hast Du einen Ausdruck [mm]\infty\;\times\;0[/mm]. Den Grenzwert kann man mit der Lhospitalschen Regel bestimmen.
>
> [mm]2)\limes_{x\rightarrow\;0}f(x)= \limes_{x\rightarrow\;0}x^2[/mm] *
> e^-^x=0
Das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Da [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=f(0)[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0}f(x)=f(o)kein[/mm] absoluter TP.
Gruß
MathePower
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