Zeige Summe exp = sinus < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:53 So 10.01.2010 | | Autor: | jxn |
| Aufgabe | Es sei [mm] D_n(x):=\bruch{1}{2}\sum_{j=-n}^{n}e^{ijx} [/mm] mit [mm] n\in\IN. [/mm] Man zeige:
[mm] D_n(x)=\bruch{1}{2}\bruch{\sin ((n+\bruch{1}{2})x)}{\sin (x/2)} [/mm] . |
Hallo,
mir erscheint es angebracht, die Aufgabe durch eine Induktion über n zu lösen. Alternative Lösungsansätze würden mich aber ebenso freuen.
Also:
IA: Für n=0 gilt: [mm] \bruch{1}{2}\sum_{j=0}^{0}e^0=\bruch{1}{2}=\bruch{1}{2}\bruch{\sin (\bruch{1}{2}x)}{\sin (x/2)}=\bruch{1}{2} [/mm] (wahr)
IS: [mm] n\ton+1 [/mm] liefert:
[mm] \bruch{1}{2}\sum_{j=-(n+1)}^{n+1}e^{ijx}=\bruch{1}{2}[\sum_{-n}^{n}e^{ijx}+e^{-i(n+1)x}+e^{i(n+1)x}]\overbrace{IV}^{=}\bruch{1}{2}\bruch{\sin ((n+\bruch{1}{2})x)}{\sin (x/2)}+\bruch{1}{2}[e^{-i(n+1)x}+e^{i(n+1)x}]
[/mm]
An der Stelle hänge ich, sowohl Anwenden der Addiotionstheoreme als auch das Aufspalten in cos + i*sin lassen mich entweder im Kreis drehen oder ich erhalte für [mm] \bruch{1}{2}[e^{-i(n+1)x}+e^{i(n+1)x}] [/mm] = [mm] \cos [/mm] (nx+x), von wo aus ich aber auch nicht erkennen kann, wie es weitergehen soll.
Gruß, jxn.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:05 So 10.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo jxn!
> Es sei [mm]D_n(x):=\bruch{1}{2}\sum_{j=-n}^{n}e^{ijx}[/mm] mit
> [mm]n\in\IN.[/mm] Man zeige:
> [mm]D_n(x)=\bruch{1}{2}\bruch{\sin ((n+\bruch{1}{2})x)}{\sin (x/2)}[/mm]
> .
> Hallo,
> mir erscheint es angebracht, die Aufgabe durch eine
> Induktion über n zu lösen. Alternative Lösungsansätze
> würden mich aber ebenso freuen.
Induktion hoert sich doch gut an.
>
> Also:
> IA: Für n=0 gilt:
> [mm]\bruch{1}{2}\sum_{j=0}^{0}e^0=\bruch{1}{2}=\bruch{1}{2}\bruch{\sin (\bruch{1}{2}x)}{\sin (x/2)}=\bruch{1}{2}[/mm]
> (wahr)
> IS: [mm]n\ton+1[/mm] liefert:
>
> [mm]\bruch{1}{2}\sum_{j=-(n+1)}^{n+1}e^{ijx}=\bruch{1}{2}[\sum_{-n}^{n}e^{ijx}+e^{-i(n+1)x}+e^{i(n+1)x}]\overbrace{IV}^{=}\bruch{1}{2}\bruch{\sin ((n+\bruch{1}{2})x)}{\sin (x/2)}+\bruch{1}{2}[e^{-i(n+1)x}+e^{i(n+1)x}][/mm]
>
> An der Stelle hänge ich, sowohl Anwenden der
> Addiotionstheoreme als auch das Aufspalten in cos + i*sin
> lassen mich entweder im Kreis drehen oder ich erhalte für
> [mm]\bruch{1}{2}[e^{-i(n+1)x}+e^{i(n+1)x}][/mm] = [mm]\cos[/mm] (nx+x), von
> wo aus ich aber auch nicht erkennen kann, wie es
> weitergehen soll.
Nun, du hast damit doch [mm] $\bruch{1}{2}\sum_{j=-(n+1)}^{n+1}e^{ijx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\bruch{\sin ((n+\bruch{1}{2})x)}{\sin (x/2)}+\cos((n [/mm] + 1) x) = [mm] \frac{\sin ((n + 1/2) x) + 2 \cos((n + 1) x) \sin(x/2)}{2 \sin (x/2)}$.
[/mm]
Versuch doch mal, mit Hilfe der Additionstheoreme aus [mm] $\sin [/mm] ((n + 1/2) x) + 2 [mm] \cos((n [/mm] + 1) x) [mm] \sin(x/2)$ [/mm] das gewuenschte [mm] $\sin [/mm] ((n + 3/2) x)$ zu machen.
Schreibe etwa [mm] $\sin [/mm] ((n + 1/2) x) = [mm] \sin(A [/mm] - B)$ und [mm] $\sin [/mm] ((n + 3/2) x) = [mm] \sin(A [/mm] + B)$, und verwende die Additionstheoreme.
LG Felix
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