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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 So 24.10.2010 | | Autor: | Lin88 |
| Aufgabe | a) Man bestimme alle natürliche Zahlen n, so dass folgende Ungleichung gilt:
[mm] 2^n>n^3
[/mm]
b) Man verallgemeinere die Aufgabe, indem man auf der linken Seite der Ungleichung einen Parameter "p" anstelle der Basiszahl "2" verwendet.
c) Man gehe analog zu b) vor und ersetze auf der rechten Seite der Ungleichung den Exponenten "3" durch einen Parameter "s" |
Das ist die erste Aufgabe der 1. Übungsserie und ich fange schon an zu stolpern. Kann auch daran liegen, das der Prof. uns etwas über Tautologien und nicht über Induktion erzählt hat.
Zur Teilaufgabe a) habe ich schon ein bisschen was:
Es sei [mm] n\in\IN: 2^n>n^3
[/mm]
IA: n=10
1024>1000
IV: Für festes [mm] n\in\IN [/mm] gelte: [mm] 2^n>n^3
[/mm]
IB: Gilt auch für Nachfolger n+1: [mm] 2^{n+1}>(n+1)^3
[/mm]
Beweis: [mm] 2^{n+1}=2^n*2>=2n^2
[/mm]
[mm] 2n^2>n^3+3n^2+3n+1
[/mm]
[mm] n^2+n^2>n^3+3n^2+3n+1
[/mm]
So weit bin ich gekommen und weiß nun nicht weiter.
Ähnlich geht es mir mit den anderen beiden Teilen der Aufgabe, da habe ich nämlich keine Idee. Ein Schubs in die richtige Richtung wäre sehr nett
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 So 24.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
>
> IA: n=10
> 1024>1000
Das ist super
>
> IV: Für festes [mm]n\in\IN[/mm] gelte: [mm]2^n>n^3[/mm]
Auch das ist okay.
>
> IB: Gilt auch für Nachfolger n+1: [mm]2^{n+1}>(n+1)^3[/mm]
>
> Beweis: [mm]2^{n+1}=2^n*2>=2n^2[/mm]
> [mm]2n^2>n^3+3n^2+3n+1[/mm]
> [mm]n^2+n^2>n^3+3n^2+3n+1[/mm]
Woher weisst du, dass [mm] 2^{n}*2>2n^{2}? [/mm] Und woher, dass [mm] $2n^2>n^3+3n^2+3n+1$?
[/mm]
Fang mal so an:
[mm] 2^{n+1}=2^{n}*2\stackrel{nach I.V}{>}n^{3}*2
[/mm]
Zeige nun noch, dass [mm] 2n^{3}>(n+1)^{3}
[/mm]
Marius
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