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Guten Abend euch allen!
Ich brauch mal wieder eure Hilfe zu einem Induktionsbeweis. Zu zeigen ist:
[mm] 3n^{2}<3^{n}. [/mm] Dies soll für alle n größer gleich 4 gelten.
I.A.: [mm] 3*4^{2}=48<81=3^{4}
[/mm]
IS.: Induktionsannahme: [mm] 3n^{2}<3^{n}
[/mm]
Induktionsziel: [mm] 3(n+1)^{2}<3^{n+1}
[/mm]
[mm] 3^{n+1}=3^{n}*3>3n^{2}*3=9n^{2}=3n^{2}+6n^{2}>3n^{2}+9n=3n^{2}+6n+3n>3n^{2}+6n+3=3*(n^{2}+2n+1)=3(n+1)^{2}
[/mm]
Q.E.D.
Vielen Dank euch allen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:27 Mo 31.10.2016 | | Autor: | DieAcht |
Hallo DerPinguinagent!
> Guten Abend euch allen!
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> Ich brauch mal wieder eure Hilfe zu einem Induktionsbeweis.
> Zu zeigen ist:
> [mm]3n^{2}<3^{n}.[/mm] Dies soll für alle n größer gleich 4
> gelten.
>
> I.A.: [mm]3*4^{2}=48<81=3^{4}[/mm]
>
> IS.: Induktionsannahme: [mm]3n^{2}<3^{n}[/mm]
... für ein beliebiges [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $n\ge [/mm] 4$.
> Induktionsziel: [mm]3(n+1)^{2}<3^{n+1}[/mm]
> [mm]3^{n+1}=3^{n}*3>3n^{2}*3=9n^{2}=3n^{2}+6n^{2}>3n^{2}+9n=3n^{2}+6n+3n>3n^{2}+6n+3=3*(n^{2}+2n+1)=3(n+1)^{2}[/mm]
>
> Q.E.D.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
DieAcht
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