Vertauschung (lin. Abb.) < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Fr 27.01.2012 | | Autor: | Torste |
| Aufgabe | Im [mm] \IR^3 [/mm] sind die folgenden Punkte gegeben:
[mm] p_1:=(1;-1;-1), p_2=(-1; [/mm] 1; -1), [mm] p_3=(-1, [/mm] -1, 1), [mm] p_4=(1, [/mm] 1, 1).
Zu zeigen ist nun, dass es genau eine lineare Abbildung f von [mm] \IR^3 [/mm] gibt,die die Punkte wie folgt vertauscht:
[mm] p_1 \mapsto p_2 \mapsto p_3 \mapsto p_4 \mapsto p_1.
[/mm]
Beschreiben die das was f geometrisch macht und begründen sie dies rechnerisch(Drehung, Spiegelung, ...). |
Hallo an alle,
ich habe mir obiges mal aufgezeichnet. es handelt sich offensichtlich um ein Tetraeder, er ist regelmäßig, wenn die p`s die Ecken sind!
Jetzt hab ich nur leider diesmal gar keine Idee, wie cih an die Aufgabe von oben herangehen soll und hatte gehofft es könnte mir hier vielleicht jmd. dabei helfen!?
Das wäre wirklich toll!
Vielen dank schonmal für jede Hilfe!
Torste
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> Im [mm]\IR^3[/mm] sind die folgenden Punkte gegeben:
> [mm]p_1:=(1;-1;-1), p_2=(-1;[/mm] 1; -1), [mm]p_3=(-1,[/mm] -1, 1), [mm]p_4=(1,[/mm]
> 1, 1).
> Zu zeigen ist nun, dass es genau eine lineare Abbildung f
> von [mm]\IR^3[/mm] gibt,die die Punkte wie folgt vertauscht:
> [mm]p_1 \mapsto p_2 \mapsto p_3 \mapsto p_4 \mapsto p_1.[/mm]
>
> Beschreiben die das was f geometrisch macht und begründen
> sie dies rechnerisch(Drehung, Spiegelung, ...).
> Hallo an alle,
>
> ich habe mir obiges mal aufgezeichnet. es handelt sich
> offensichtlich um ein Tetraeder, er ist regelmäßig, wenn
> die p's die Ecken sind!
>
> Jetzt hab ich nur leider diesmal gar keine Idee, wie cih an
> die Aufgabe von oben herangehen soll und hatte gehofft es
> könnte mir hier vielleicht jmd. dabei helfen!?
> Das wäre wirklich toll!
> Vielen dank schonmal für jede Hilfe!
> Torste
Hallo Torste,
richtig beobachtet: die [mm] p_i [/mm] sind Ecken eines regelmäßigen
Tetraeders, welches einem achsenparallel liegenden Würfel
der Kantenlänge 2 mit Mittelpunkt im Ursprung einbeschrieben
ist (jede Tetraederecke ist auch Würfelecke). Nun sind alle
möglichen Tetraeder, die man demselben Würfel auf diese
Weise einbeschreiben kann, zueinander kongruent (unab-
hängig von der Reihenfolge der Bezeichnungen der Eckpunkte.
Es muss also eine Bewegung des [mm] \IR^3 [/mm] geben, welche das
Tetraeder [mm] p_1p_2p_3p_4 [/mm] in das Tetraeder [mm] p_2p_3p_4p_1 [/mm] überführt,
und diese wird beschrieben durch eine orthogonale Matrix.
Um die Matrix aufzustellen, kann man z.B. ein Gleichungs-
system für ihre Koeffizienten aufstellen. Ich würde eher
versuchen, die Abbildung aus elementaren Abbildungen
(z.B. Ebenenspiegelungen) zusammenzusetzen. Man kann ja
etwa die gewünschte Permutation (1234) der Ecken durch drei
Zweierzykeln darstellen:
(1234) = (12)(23)(34)
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:24 Sa 28.01.2012 | | Autor: | Torste |
Danke dir soweit Al-Chwarizmi!
Also ja - deine Beschreibung scheint ja Hand und Fuß zu haben...aber ich komme noch nicht so recht damit klar!
ich habe jetzt mal versucht ein solches LGS aufzustellen - da ich doch glaube, dass ich damit eher umgehen kann.
dabei soll ja meine Matrix U als 3x3 Matrix orthogonal sein, also ist sie ja bereits von dieser Form:
[mm] \pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 0 & c & -s \\ 0 & s & c }, [/mm] mit [mm] c^2+s^2=1 [/mm] und c, [mm] s\in\IR.
[/mm]
Wenn ich nun aber [mm] Up_1=p_2, Up_2=p_3, Up_3=p_4, [/mm] U, [mm] p_4=p_1 [/mm] setze, dann erhalte ich irgendwie keine Lösung!?
Und ich weiß jetzt nicht woran das liegt!?
und dann habe ich nochmal eine Frage: du hast das mit dem regelmäßigen Tetraeder ja jetzt sehr anschaulich geometrisch erklärt, könnte man sowas eigentlich auch konkret zeigen? Ich meine, könnte man zeigen , dass tatsächlich die [mm] P_i [/mm] die ecken eines solchen regelmäßigen Tetraeders sind und wenn wie!?
Viele Grüße
und vielen, vielen dank
Torste
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> Danke dir soweit Al-Chwarizmi!
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> Also ja - deine Beschreibung scheint ja Hand und Fuß zu
> haben...aber ich komme noch nicht so recht damit klar!
>
> ich habe jetzt mal versucht ein solches LGS aufzustellen -
> da ich doch glaube, dass ich damit eher umgehen kann.
>
> dabei soll ja meine Matrix U als 3x3 Matrix orthogonal
> sein, also ist sie ja bereits von dieser Form:
> [mm]\pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 0 & c & -s \\ 0 & s & c },[/mm] mit
> [mm]c^2+s^2=1[/mm] und c, [mm]s\in\IR.[/mm]
Diese Form hätte sie bezüglich eines geeigneten (gedrehten)
Koordinatensystems ... doch eine solche Drehung müsste
man ebenfalls noch beschreiben.
Jetzt bereue ich es fast ein wenig, dir den Tipp "allgemeiner
Ansatz und Gleichungssystem" gegeben zu haben, da es nicht
ganz leicht ist, mit einer minimalen Anzahl von Parametern
auszukommen.
Vielleicht hat da jemand noch einen geeigneten Tipp ?
> Wenn ich nun aber [mm]Up_1=p_2, Up_2=p_3, Up_3=p_4,[/mm] U, [mm]p_4=p_1[/mm]
> setze, dann erhalte ich irgendwie keine Lösung!?
> Und ich weiß jetzt nicht woran das liegt!?
>
> und dann habe ich nochmal eine Frage: du hast das mit dem
> regelmäßigen Tetraeder ja jetzt sehr anschaulich
> geometrisch erklärt, könnte man sowas eigentlich auch
> konkret zeigen? Ich meine, könnte man zeigen , dass
> tatsächlich die [mm]P_i[/mm] die ecken eines solchen regelmäßigen
> Tetraeders sind und wenn wie!?
Schau dir den Würfel mit den Eckpunkten [mm] (\pm1 [/mm] , [mm] \pm1 [/mm] , [mm] \pm1) [/mm] an.
Die Punkte [mm] p_1, p_2, p_3, p_4 [/mm] sind 4 der 8 Ecken dieses Würfels.
Das Tetraeder mit diesen Ecken ist regelmäßig, weil all seine
6 Kanten Flächendiagonalen des Würfels, und somit alle gleich
lang sind.
Eine Abbildung des Tetraeders auf sich, welche nur jeweils 2
Ecken vertauscht und die anderen 2 in Ruhe lässt, kann man
leicht durch die Spiegelung an der Mittelnormalebene der
Kante durch die 2 zu vertauschenden Punkte beschreiben.
Um die entsprechende Spiegelungsmatrix hinzuschreiben,
betrachte die jeweiligen Bilder der 3 Grundvektoren.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 So 29.01.2012 | | Autor: | Torste |
Vielen Dank für die Hilfe soweit, aber das eigentliche Problem besteht damit ja nun noch immer! Könnte da nochmal jemand schauen, ob er mir helfen kann!?
Viele GRÜßE
Torste
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> Vielen Dank für die Hilfe soweit, aber das eigentliche
> Problem besteht damit ja nun noch immer! Könnte da nochmal
> jemand schauen, ob er mir helfen kann!?
> Viele GRÜßE
> Torste
gegeben:
> [mm] p_1:=(1;-1;-1), p_2=(-1; [/mm] $ 1; -1), [mm] p_3=(-1, [/mm] $ -1, 1), [mm] p_4=(1, [/mm] 1, 1).
> Zu zeigen ist nun, dass es genau eine lineare Abbildung f
> von $ [mm] \IR^3 [/mm] $ gibt,die die Punkte wie folgt vertauscht:
> $ [mm] p_1 \mapsto p_2 \mapsto p_3 \mapsto p_4 \mapsto p_1. [/mm] $
Man kann ja
etwa die gewünschte Permutation (1234) der Ecken durch drei
Zweierzykeln darstellen:
(1234) = (12)(23)(34)
Hallo Torste,
um z.B. die Matrix zur Permutation (34) aufzustellen, müssen
wir die Spiegelung des [mm] \IR^3 [/mm] an der Mittelnormalebene der
Tetraederkante [mm] p_3p_4 [/mm] betrachten. Mach dir die Lage dieser
Ebene in einer Zeichnung klar ! Die Ebene hat übrigens die
Gleichung x=y . Sie ist eine winkelhalbierende Ebene der
x-z-Ebene und der y-z-Ebene.
Nun spiegle die Grundvektoren
[mm] $\vec{e}_1\ [/mm] =\ [mm] \pmat{1\\0\\0}\qquad \vec{e}_2\ [/mm] =\ [mm] \pmat{0\\1\\0}\qquad\vec{e}_3\ [/mm] =\ [mm] \pmat{0\\0\\1}$
[/mm]
an dieser Ebene. Beispielsweise geht [mm] $\vec{e}_1\ [/mm] =\ [mm] \pmat{1\\0\\0}$ [/mm] dabei in
den Vektor [mm] \pmat{0\\-1\\0} [/mm] über. Dies kann man sich leicht anschaulich
anhand einer Skizze klar machen, ohne dafür noch eine
separate Rechnung aufzuziehen !
Fasse die 3 so ermittelten Vektoren zur [mm] 3\times3 [/mm] - Matrix [mm] S_{(34)}
[/mm]
zusammen. Bilde analog die Matrizen [mm] S_{(12)} [/mm] und [mm] S_{(23)} [/mm] und
bilde dann die gesuchte Matrix
$\ F\ =\ [mm] S_{(12)}*S_{(23)}*S_{(34)}$
[/mm]
der linearen Abbildung f .
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Mi 01.02.2012 | | Autor: | Torste |
Danke dir nochmal ...die Anleitung hatte mich auf jeden fall weiter gebracht...mal schauen was nun bei der Punkteverteilung dabei herauskommt :)
Danke dir auf jeden fall!
Torste
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