Verschachtelte Exponentielle A < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] y=x^{(x^x)}
[/mm]
[mm] y=e^{(x^x)ln(x)}
[/mm]
und weiter bin ich mir nicht sicher ich weiss nur dass man nochmal e hoch ln anwenden muss |
Kann mir mal jemand helfen bei dieser Aufgabe. Die einfache exponentielle Ableitung ist klar mit e hoch ln aber bei dieser Verschachtelten bin ich mir nicht so ganz klar über die schreibweise.
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Wende zweimal den [mm]\ln[/mm] an und beachte die Logarithmusgesetze:
[mm]y = x^{\left( x^x \right)}[/mm]
[mm]\ln{y} = \ln{ \left( x^{\left( x^x \right)} \right)} = x^x \cdot \ln{x}[/mm]
[mm]\ln{\left( \ln{y} \right)} = \ln{\left( x^x \cdot \ln{x} \right)} = \ln{\left( x^x \right)} + \ln{\left( \ln{x} \right)} = x \cdot \ln{x} + \ln{\left( \ln{x} \right)}[/mm]
Und jetzt alles wieder rückgängig machen, ohne das Erreichte rechts zu zerstören:
[mm]\ln{y} = \exp{\left( x \cdot \ln{x} + \ln{\left( \ln{x} \right)} \right)}[/mm]
[mm]y = \exp{ \left( \exp{\left( x \cdot \ln{x} + \ln{\left( \ln{x} \right)} \right)} \right)}[/mm]
Und jetzt Kettenregel (mehrmals) usw.
[Ironie]Viel Spaß![/Ironie]
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