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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Di 21.11.2006 | | Autor: | kleiner- |
| Aufgabe | Sei f:V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen V,W und sei S ein Erzeugendensystem von V. Zeigen sie die folgenden Aussagen :
Falls U [mm] \subset [/mm] V ein endlich erzeugter Unerraum ist, so gilt
dim f (U) [mm] \le [/mm] dim U. |
mein gedankengang hierzu ist.
Wäre U nicht endlich erzeugt, so gäbe es eine unendliche linear unabhängige Familie, was dem Austauschsatz widerspricht. Demnach hat U eine endliche Basis, und wieder nach dem Austauschsatz ist ihre Länge höchstens gleich dim U
Sei n= dimU = dimV und [mm] w_{1}...... w_{n} [/mm] Basis von U. Ist U [mm] \not= [/mm] V , so gibt es ein v [mm] \in [/mm] V \ W und [mm] w_{1}.... w_{n} [/mm] , v sind linear unabhängig im Widerspruch zum Austauschsatz.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Sei [mm] w_1,...,w_n [/mm] ein Erzeugendensystem von U.
Zeige, dass dann [mm] f(w_1),...,f(w_n) [/mm] ein Erzeugendensystem von f(U) ist.
Tipp: f ist linear.
Daraus folgt unmittelbar die Behauptung dim f(U) [mm] \le [/mm] dim U.
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und wie beweise ich formal das > Sei [mm]w_1,...,w_n[/mm] ein Erzeugendensystem von U.
> [mm] f(w_1),...,f(w_n)[/mm] [/mm] ein Erzeugendensystem
> von f(U) ist.
was ein erzeugendensystem is, weiß ich ja, aber wie zeige ich sowas??
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Sei [mm] v\inf(U) [/mm] beliebig. Dann muss ich eine Linearkombination der Erzeugenden angeben können. Das geht so:
[mm] v\inf(U) \Rightarrow \exists w\inU [/mm] mit f(w)=v
Nun ist [mm] w_1,...w_n [/mm] Erzeugendensystem von U
[mm] \Rightarrow [/mm] w = [mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}w_{i}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] v = f(w) = [mm] f(\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}w_{i})
[/mm]
f linear [mm] \Rightarrow [/mm] v = [mm] f(\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}w_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}f(w_{i}) [/mm] qed
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