Untergruppe: Nachweis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen Leute!
hier meine aufgabe: es sei U:= [mm] \{a+bi | a,b \in \IQ, a^{2}+b^{2}=1\} [/mm] und ich soll zeigen, dass U eine untergruppe der multiplikativen gruppe [mm] (\IC,*) [/mm] der komplexen zahlen ist.
hier meine anfänglichen versuche:
kriterien für untergruppe:
1. U [mm] \not=\emptyset
[/mm]
2. a,b [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \circ [/mm] b [mm] \in [/mm] U
3. [mm] a^{-1} \in [/mm] U
jetzt habe ich versucht, dass wie folgt zu beweisen:
1. da [mm] a^{2}+b^{2}=1 [/mm] existenz mindestens eines elements und daher U [mm] \not=\emptyset
[/mm]
2. (a [mm] \circ [/mm] b) = [mm] a^{2}+b^{2}= b^{2}+a^{2}=(b \circ [/mm] a)
3. (a+bi), multiplikativ inverses: [mm] (a-bi)/(a^{2}+b^{2}) [/mm] auch [mm] \in [/mm] U
q.e.d
sind da schon brauchbare ansätze vorhanden? und wo hab ich fehler in meinem beweis?
danke schon mal im voraus
liebe grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Franzie |
also ich hab mein problem erkannt, ich hab immer die multiplikation im körper mit der multiplikation innerhalb der reellen zahlen verwechselt.
das multiplikative inverse zu (a+bi) ist a/( [mm] a^{2}+ b^{2})-i*b/(a^{2}+ b^{2})
[/mm]
und jetzt muss zeigen, dass 1/(a+bi) element U ist.
(1/(a+bi))*(a+bi)=1
(a/( [mm] a^{2}+ b^{2})-i*b/(a^{2}+ b^{2}))*(a+bi)=a^{2}/( a^{2}+ b^{2})+(abi)/( a^{2}+ b^{2})-(abi)/( a^{2}+ b^{2})-(b^{2})*i^{2}))/(a^{2}+ b^{2})
[/mm]
[mm] =a^{2}/( a^{2}+ b^{2})-(b^{2})*i^{2}))/(a^{2}+ b^{2})
[/mm]
muss ich das jetzt in die ausgangsgleichung, also [mm] a^{2}+ b^{2}=1 [/mm] einsetzte oder wie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Franzie!
Also, wir haben ja
[mm] $(a+ib)^{-1} [/mm] = [mm] \frac{a}{a^2+b^2} [/mm] - i [mm] \frac{b}{a^2+b^2} [/mm] = a-ib$
wegen [mm] $a^2+b^2=1$.
[/mm]
Nun ist aber auch [mm] $a^2 [/mm] + [mm] (-b)^2 [/mm] = [mm] a^2+b^2=1$,
[/mm]
also: [mm] $(a+ib)^{-1} [/mm] = a-ib [mm] \in [/mm] U$.
Liebe Grüße
Stefan
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