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Forum "Analysis des R1" - Ungleichung
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Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:49 Mi 06.06.2012
Autor: mili03

Aufgabe
Seien [mm] a,b\ge0 [/mm] und [mm] 0
Dann will ich folgendes beweisen:

       [mm] \theta^r a^{1-r}+(1-\theta)^r b^{1-r}\le (a+b)^{1-r} [/mm]

Hallo,

ich habe mir eine Skizze von der Funktion [mm] f(x)=x^{1-r} [/mm] gemacht. Diese ist konkav (wie eine Wurzelfunktion).

Mir macht aber nun das r im Exponenten von [mm] \theta [/mm] und [mm] (1-\theta) [/mm] Probleme, da gilt [mm] \theta^r>\theta [/mm] und [mm] (1-\theta)^r>1-\theta. [/mm]

Hat jemand eine Idee für die Ungleichung?

Danke und Gruß, mili

        
Bezug
Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:13 Mi 06.06.2012
Autor: kamaleonti

Hallo,
> Seien [mm]a,b\ge0[/mm] und [mm]0
>  
> Dann will ich folgendes beweisen:
>  
> [mm]\theta^r a^{1-r}+(1-\theta)^r b^{1-r}\le (a+b)^{1-r}[/mm]

Kürzen mit (a+b) liefert die Form der Ungleichung

     [mm] \frac{a}{a+b}\left(\frac{\theta}{a}\right)^r+\frac{b}{a+b}\left(\frac{1-\theta}{b}\right)^r\le \left(\frac{1}{a+b}\right)^{r}. [/mm]

In dieser Form folgt die Ungleichung aus der Jensen-Ungleichung für die konkave Funktion [mm] f(x)=x^r. [/mm]

LG

Bezug
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