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| Aufgabe | Sei [mm] (a_{n}) [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] eine Folge reeller Zahlen mit dem Grenzwert a [mm] \in \IR [/mm] . Zeigen sie:
a)Sei [mm] (b_{m}) [/mm] m [mm] \in \IN [/mm] eine Umordnung der Folge [mm] (a_{n}) [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] . Dann konvergiert die Folge [mm] (b_{m}) [/mm] m [mm] \in \IN [/mm] ebenfalls gegen a.
b) Sei [mm] (a_{n_{m}}) [/mm] m [mm] \in \IN [/mm] eine Teilfolge der Folge [mm] (a_{n}) [/mm] n [mm] \in \IN. [/mm] Dann konvergiert auch die Folge [mm] (a_{n_{m}}) [/mm] m [mm] \in \IN [/mm] gegen a. |
also mir ist schon klar dass wenn man die folge umordnet immernoch fast alle folgenglieder in einem [mm] \varepsilon [/mm] Bereich liegen. aber wie beweist man das?
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> Sei [mm](a_{n})[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] eine Folge reeller Zahlen mit dem
> Grenzwert a [mm]\in \IR[/mm] . Zeigen sie:
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> a)Sei [mm](b_{m})[/mm] m [mm]\in \IN[/mm] eine Umordnung der Folge [mm](a_{n})[/mm] n
> [mm]\in \IN[/mm] . Dann konvergiert die Folge [mm](b_{m})[/mm] m [mm]\in \IN[/mm]
> ebenfalls gegen a.
> also mir ist schon klar dass wenn man die folge umordnet
> immernoch fast alle folgenglieder in einem [mm]\varepsilon[/mm]
> Bereich liegen. aber wie beweist man das?
Hallo,
zunächst einmal sagt ja [mm] (a_n) [/mm] -----> a, daß man zu jedem vorgegebenen [mm] \varepsilon [/mm] ein N findet, so daß [mm] |a_n-a|<\varepsilon [/mm] für alle n>N.
Jetzt muß man sich überlegen, was es bedeutet, daß [mm] (b_n) [/mm] eine Umordnung von [mm] (a_n) [/mm] ist.
Wie ist den Umordnung definiert?
So. es gibt eine Bijektion [mm] \Phi :\IN [/mm] -----> [mm] \IN [/mm] mit
[mm] b_n=a_{\Phi (n)}
[/mm]
So, nun schau Dir einmal [mm] {\Phi}^{-1}(\{1,2,..,N\}) [/mm] an.
Wieviele Elemente hat die Menge?
Sei M:= max [mm] ({\Phi}^{-1}(\{1,2,..,N\}))
[/mm]
Nun betrachte für alle n>M
[mm] |b_n-a|
[/mm]
Gruß v. Angela
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