Umkehrfunktion Bsp. < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die reelle Funktion $f(x)=sinh(x)$ ist streng monoton wachsend; bestimmen Sie die Umkehrfunktion unter Verwendung der Substitution [mm] z=e^x
[/mm]
Zeigen Sie explizit, dass die Umkehrfunktion ungerade ist. |
Mir kommen zwei Umkehrfunktionen heraus. Woher weiß ich welche in welchem Bereich gültig ist? Wie schreib ich das dann an?
[mm] f^{-1}(x)=ln(x+\wurzel(x^2+1))
[/mm]
[mm] f^{-1}(x)=ln(x-\wurzel(x^2+1))
[/mm]
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> Die reelle Funktion [mm]f(x)=sinh(x)[/mm] ist streng monoton
> wachsend; bestimmen Sie die Umkehrfunktion unter Verwendung
> der Substitution [mm]z=e^x[/mm]
> Zeigen Sie explizit, dass die Umkehrfunktion ungerade
> ist.
> Mir kommen zwei Umkehrfunktionen heraus. Woher weiß ich
> welche in welchem Bereich gültig ist? Wie schreib ich das
> dann an?
>
> [mm]f^{-1}(x)=ln(x+\wurzel(x^2+1))[/mm]
> [mm]f^{-1}(x)=ln(x-\wurzel(x^2+1))[/mm]
hallo!
die zweite lösung fällt doch eh raus!
[mm] f^{-1}(x)=ln(x-\wurzel(x^2+1))
[/mm]
[mm] \sqrt{x^2+1} [/mm] ist immer >x (wenn x gegen unendlich geht ist es dann aber fast x), und dies von x abgezogen ist dann immer negativ, womit der ln nicht definiert wäre. wenn du das nicht direkt "siehst", dann mach es rechnerisch.. das argument vom ln muss ja > 0 sein:
[mm] x-\sqrt{x^2+1}> [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x > [mm] \sqrt{x^2+1} [/mm] für x > 0 dürftest du dann quadrieren
[mm] \gdw x^2 [/mm] > [mm] x^2 [/mm] +1 [mm] \gdw [/mm] 0 > 1 widerspruch..
für ungeradheit ist f(-x)=-f(x) aber dazu hab ich gerade tomaten auf den augen :-(
gruß tee
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