Trigonometrie (cos 3/alpha)^2 < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:30 Sa 08.11.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Werte von (cos [mm] 3*\alpha)^2 [/mm] = [mm] \bruch{3}{4} [/mm]
zwischen 0° und 360°. |
Moin,
es soll 12 Lösungen geben. Hmm.
(cos [mm] 3*\alpha)^2 [/mm] = [mm] \bruch{3}{4} [/mm]
Also ziehe ich als erstes die Wurzel
(cos [mm] 3*\alpha) [/mm] = [mm] \pm \bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm]
Kann ich da eine Fallunterscheidung machen?
Falls [mm] 3*\alpha \le [/mm] 90° dann ...
Falls 90° < [mm] 3*\alpha \le [/mm] 180° dann ...
Falls 180° < [mm] 3*\alpha \le [/mm] 270° dann ...
Falls 270° < [mm] 3*\alpha \le [/mm] 360° dann ...
Aber dann komme ich doch nur auf 2*4 also insgesamt 8 verschiedene Lösungen?!
Gruß
Wolfgang
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> Bestimmen Sie alle Werte von (cos [mm]3*\alpha)^2[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
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> zwischen 0° und 360°.
> Moin,
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> es soll 12 Lösungen geben. Hmm.
>
> (cos [mm]3*\alpha)^2[/mm] = [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
>
> Also ziehe ich als erstes die Wurzel
>
> (cos [mm]3*\alpha)[/mm] = [mm]\pm \bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
>
>
> Kann ich da eine Fallunterscheidung machen?
>
> Falls [mm]3*\alpha \le[/mm] 90° dann ...
> Falls 90° < [mm]3*\alpha \le[/mm] 180° dann ...
> Falls 180° < [mm]3*\alpha \le[/mm] 270° dann ...
> Falls 270° < [mm]3*\alpha \le[/mm] 360° dann ...
>
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> Aber dann komme ich doch nur auf 2*4 also insgesamt 8
> verschiedene Lösungen?!
hallo Wolfgang
dies gibt zunächst nicht 2*4, sondern 4 Lösungen für den
Winkel [mm] \beta=3*\alpha
[/mm]
(cos ist im ersten und im vierten Quadranten positiv, in
den anderen negativ)
Um die Werte für [mm] \alpha [/mm] zu erhalten, teilst du dann die
[mm] \beta-Werte [/mm] durch 3. Dabei musst du aber alle [mm] \beta [/mm] im
Intervall $\ [mm] 0°<\beta<1080°$ [/mm] berücksichtigen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 Sa 08.11.2008 | | Autor: | hase-hh |
ich habe raus,
a) cos [mm] \beta [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
[mm] \beta [/mm] = 30° bzw. [mm] \alpha [/mm] = 10°
cos [mm] \beta_2 [/mm] = cos (180° - [mm] \beta) [/mm] => [mm] \beta_2 [/mm] = 150° bzw. [mm] \alpha_2 [/mm] = 50°
cos [mm] \beta_3 [/mm] = cos (180° + [mm] \beta) [/mm] => [mm] \beta_3 [/mm] = 210° bzw. [mm] \alpha_3 [/mm] = 70°
cos [mm] \beta_4 [/mm] = cos (360° - [mm] \beta) [/mm] => [mm] \beta_4 [/mm] = 330° bzw. [mm] \alpha_4 [/mm] = 110°
b) cos [mm] \beta [/mm] = - [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
[mm] \beta_2 [/mm] = 150° bzw. [mm] \alpha_2 [/mm] = 50°
usw. führt also auf dieselben Werte.
Nun frage ich mich, wie man hier auf 12 Lösungen kommen soll?!
Ich habe ein Additionstheorem entdeckt.
cos(3x) = [mm] 4cos^3 [/mm] x - 3cos x
Kommt man damit weiter?
Gruß
Wolfgang
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> ich habe raus,
>
> a) cos [mm]\beta[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
>
> [mm]\beta[/mm] = 30° bzw. [mm]\alpha[/mm] = 10°
>
> cos [mm]\beta_2[/mm] = cos (180° - [mm]\beta)[/mm] => [mm]\beta_2[/mm] = 150° bzw.
> [mm]\alpha_2[/mm] = 50°
>
> cos [mm]\beta_3[/mm] = cos (180° + [mm]\beta)[/mm] => [mm]\beta_3[/mm] = 210° bzw.
> [mm]\alpha_3[/mm] = 70°
>
> cos [mm]\beta_4[/mm] = cos (360° - [mm]\beta)[/mm] => [mm]\beta_4[/mm] = 330° bzw.
> [mm]\alpha_4[/mm] = 110°
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Soweit korrekt, der Clou besteht darin, was Al-Chwarizmi noch gesagt hat. Wenn du [mm] 3\alpha [/mm] hast, anstatt nur [mm] \alpha, [/mm] und dann durch drei teilst, erweitert sich der Bereich deines Winkels, den du untersuchen musst. Der gesuchte Winkel [mm] \alpha [/mm] muss sozusagen zwischen 0° und 360° liegen, der Gesamtwinkel [mm] \beta [/mm] jedoch kann zwischen 0° und 1080° liegen!
Du nimmst deinen Winkel [mm] \alpha [/mm] ja immer noch mal drei, aber die Bedingung für [mm] \alpha [/mm] zwischen 0° und 360° bezieht sich ja nur auf [mm] \alpha! [/mm] Das heißt, wenn wir annehmen, auch [mm] \beta=30°+360°=390° [/mm] sei eine Lösung, ist das korrekt, denn wenn du das durch 3 teilst, erhälst du für [mm] \alpha [/mm] den Wert 130°
Oder du machst es so, wenn zu [mm] \beta [/mm] 360° dazukommen, müssen zu allen [mm] \alpha-Werten [/mm] 120° dazuaddiert werden, also für den ersten Wert 130°, für den zweiten 170° etc. So kommst du auf die gesuchten Werte.
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