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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 So 30.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Man bestimme für die Matrizen [mm] A_{q}=\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & q } \in M_{\IR} [/mm] in Abhängigkeit von q,
a) eine Matrix [mm] Q_{q} \in Gl_{3}(\IR) [/mm] und eine Diagonalmatrix [mm] D_{q} \in M_{3}(\IR) [/mm] mit Einträgen in [mm] \{-1,0,1\} [/mm] derart, dass [mm] Q^{T}*A*Q=D_{q},
[/mm]
b) die Signatur von [mm] A_{q}, [/mm] und
c) eine Zerlegung von [mm] \IR^{3} [/mm] wie im Trägheitssatz von Sylvester. |
Hallo,
ich hab mal diese Aufgabe gelöst, aber an einer Stelle bin ich nicht mehr weitergekommen.Ich hab zunächst die Matrix [mm] A_{q} [/mm] diagonalisiert und habe
[mm] D_{q}=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & q-2 } [/mm] und [mm] Q=\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 }.
[/mm]
So, wenn ich das richtig verstanden habe, darf die Matrix [mm] D_{q} [/mm] nur die Einträge -1,0 und 1 enthalten.Das heißt für q kommen nur drei Zahlen in Frage, unzwar 1,2 und 3. Ich habe also drei verschiedene Fälle oder?
b) Die Signatur für q=2 ist (2/0), q=3 (3/0), q=1 (2/1).
c) Also wir haben uns den Trägheitssatz von Sylvester so aufgeschrieben:
Sei V ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] mit [mm] dim_{\IR} [/mm] < [mm] \infty.Sei [/mm] s:V [mm] \times [/mm] V [mm] \to \IR [/mm] eine symmetrische [mm] \IR-Bilinearform.
[/mm]
1.Es gibt Unterräume [mm] V=X^{+} \oplus X^{-} \oplus V^{\perp} [/mm] (bezüglich s).
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in X^{+}\\{0\}: [/mm] s(x,x)>0,
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in X^{-}\ \{0\}: [/mm] s(x,x)<0
2.In 1 seien [mm] p=dim_{\IR} X^{+}, q=dim_{\IR} X^{-}.
[/mm]
Die Zahlen p,q sind eindeutig bestimmt durch s. Das Paar (p,q) heißt die Signatur von s.
Ich bin mir nicht sicher ob ich das jetzt richtig zerlegt habe:
Fall1: q=2: [mm] X^{+}=Lin_{\IR}(\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}),
[/mm]
[mm] V^{\perp}=Lin_{\IR}(\vektor{0 \\ -1 \\ 1}), X^{-}=\emptyset.
[/mm]
Und so würde ich das auch für q=1 und q=3 machen.
Ist das so richtig?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 So 30.01.2011 | | Autor: | fasko |
Hallo.
Soweit ich das selbst richtig verstanden habe, ist alles korrekt, bis auf das du für [mm] X^{-}=\emptyset [/mm] ein [mm] X^{-}=Lin_{\IR}(\vektor{0 \\ 0 \\ 0}) [/mm] stehen haben solltest. Zumindest wurde mir das so in der Zentralübung gesagt. Jede Untermenge enthalte zumindest den Nullvektor. Für q=1 und q=3 kannst du dann analog verfahren.
Gruß
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