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| Aufgabe | | Wieso ist der Träger der [mm] $\delta-$Distribution [/mm] gegeben durch [mm] $\{0\}$? [/mm] |
Hallo,
für Testfunktionen $f [mm] \in \mathcal{D}'(\Omega)$ [/mm] sei [mm] $\Omega_T$ [/mm] gegeben durch die Vereinigung [mm] $\cup \Omega_o$ [/mm] aller offenen Teilmengen [mm] $\Omega_o \subset \Omega$ [/mm] mit der Eigenschaft [mm] $f|_{\mathcal{D}(\Omega_o)}=0$. [/mm] Der Abschluss der Menge [mm] $\Omega \backslash \Omega_T$ [/mm] heißt der Träger von $f$.
Nun wurde die Delta Distribution [mm] $\delta \in \mathcal{D}'(\Omega)$ [/mm] definiert durch [mm] $\delta(\phi)=\phi(0)$. [/mm]
Jetzt lese ich zu der Frage des Trägers überall, dass [mm] supp$\delta=\{0\}$, [/mm] denn sei [mm] $\omega=\mathbb{R}^n \backslash \{0\}$. [/mm] Dann gilt für [mm] $\phi \in \mathcal{D}(\omega)$: $\delta(\phi)=0$.
[/mm]
Aber es ist doch [mm] $\delta(\phi)=\phi(0)$ [/mm] und der Definitionsbereich von [mm] $\phi$ [/mm] ist [mm] $\omega$, [/mm] m.a.W. bei $0$ ist [mm] $\phi$ [/mm] nicht definiert.
Abgesehen davon weiß ich auch nicht, warum die Gleichheit überhaupt richtig sein sollte.
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Hallo,
> für Testfunktionen [mm]f \in \mathcal{D}'(\Omega)[/mm] sei [mm]\Omega_T[/mm]
> gegeben durch die Vereinigung [mm]\cup \Omega_o[/mm] aller offenen
> Teilmengen [mm]\Omega_o \subset \Omega[/mm] mit der Eigenschaft
> [mm]f|_{\mathcal{D}(\Omega_o)}=0[/mm]. Der Abschluss der Menge
> [mm]\Omega \backslash \Omega_T[/mm] heißt der Träger von [mm]f[/mm].
>
> Nun wurde die Delta Distribution [mm]\delta \in \mathcal{D}'(\Omega)[/mm]
> definiert durch [mm]\delta(\phi)=\phi(0)[/mm].
>
> Jetzt lese ich zu der Frage des Trägers überall, dass
> supp[mm]\delta=\{0\}[/mm], denn sei [mm]\omega=\mathbb{R}^n \backslash \{0\}[/mm].
> Dann gilt für [mm]\phi \in \mathcal{D}(\omega)[/mm]:
> [mm]\delta(\phi)=0[/mm].
>
> Aber es ist doch [mm]\delta(\phi)=\phi(0)[/mm] und der
> Definitionsbereich von [mm]\phi[/mm] ist [mm]\omega[/mm], m.a.W. bei [mm]0[/mm] ist
> [mm]\phi[/mm] nicht definiert.
Du hast recht, dass die Delta-Distribution zunächst gar nicht definiert scheint. Wichtig ist hierbei das Konzept der Lokalisierung: ![[]](/images/popup.gif) Wiki.
Viele Grüße,
Stefan
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