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| Aufgabe | | Gegeben sei die Funktion f(x) = [mm] e^{-x}*sin(x). [/mm] Approximieren Sie die Funktion f durch ihr Taylorpolynom mit dem Entwicklungspunkt [mm] x_{0} [/mm] = 0 und bestimmen Sie dabei den Grad des Polynoms so, dass der Fehler auf dem Intervall [ [mm] -\bruch{1}{100} [/mm] , [mm] \bruch{1}{100} [/mm] ] kleiner als [mm] 10^{-8} [/mm] ist. |
Moin, moin,
ich komme mit der Aufgabe nicht ganz zurecht. Ich muss irgendwie das Grad des Polynoms herausbekommen. Hier aber erst mal ein Anfang:
[mm] e^{-x}=1-x+\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{1}{6}x^{3}+...
[/mm]
[mm] sin(x)=x-\bruch{1}{6}x^{3}+\bruch{1}{120}x^{5}-...
[/mm]
[mm] f(x)=(1-x+\bruch{1}{2}x^{2}-...)*(x-\bruch{1}{6}x^{3}+\bruch{1}{120}x^{5}-...)
[/mm]
Danke für die Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Di 26.04.2011 | | Autor: | max3000 |
Jetzt multiplizierst du das ganze aus und stellst einfach mal die gesamte Taylorreihe vom Grad 1, 2, 3 und 4 auf.
Dann kannst du mal die Differenzen zwischen deinem Polynom und der exakten Funktion an den Stellen 1/100 und -1/100 ausrechnen und wirst irgendwann feststellen dass der Fehler kleiner als [mm] 10^{-8} [/mm] ist.
Eine andere Möglichkeit wäre mal das Restglied zu betrachten.
Da gibts ja zum Beispiel das Integralrestglied, was am Ende kleiner als [mm] 10^{-8} [/mm] sein muss. Das kannst du eventuell geeignet abschätzen und ausrechnen.
Hoffe ich konnte dir einen kleinen Anhaltspunkt geben.
Schönen Gruß
Max
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