Sup und Erwartungswert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Mi 01.05.2013 | | Autor: | physicus |
Hi zusammen
Ich habe eine ganz allgemeine Frage. Sei $F$ eine Menge von messbaren Funktionen. Und ich nehme an, dass
[mm] $E[\sup_{f\in F} [/mm] f]$ und [mm] $\sup_{f\in F}E[F]$ [/mm] existiert.
kann ich dann den Erwartungswert und [mm] $\sup$ [/mm] vertauschen? D.h. gilt
[mm] $\sup{f\in F}E[f]=E[\sup_{f\in F}f]$
[/mm]
Wie ich argumentiert hätte:
[mm] $"\le [/mm] "$: [mm] $E[f]\le E[\sup_{f\in F}f]$, [/mm] daher [mm] $\sup_{f\in F}E[f]\le E[\sup_{f\in F}f]$. [/mm]
[mm] $"\ge [/mm] "$: Es gilt nach Definition [mm] $f\le \sup_{f\in F} [/mm] f$. Daher [mm] $E[\sup_{f\in F} f]\ge [/mm] E[f]$. Nun folgt wieder [mm] $E[\sup_{f\in F} f]\ge \sup_{f\in F}E[f]$
[/mm]
D.h. ich hätte tatsächlich [mm] $\sup_{f\in F}E[f]=E[\sup_{f\in F}f]$. [/mm] Irgendwie wirkt es für mich aber ziemlich unglaubwürdig mit einzig der Annahme oben, dass dies gilt.
Danke und Gruss
physicus
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Hallo
> Hi zusammen
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> Ich habe eine ganz allgemeine Frage. Sei [mm]F[/mm] eine Menge von
> messbaren Funktionen. Und ich nehme an, dass
>
> [mm]E[\sup_{f\in F} f][/mm] und [mm]\sup_{f\in F}E[F][/mm] existiert.
>
> kann ich dann den Erwartungswert und [mm]\sup[/mm] vertauschen? D.h.
> gilt
>
> [mm]\sup{f\in F}E[f]=E[\sup_{f\in F}f][/mm]
>
> Wie ich argumentiert hätte:
>
> [mm]"\le "[/mm]: [mm]E[f]\le E[\sup_{f\in F}f][/mm], daher [mm]\sup_{f\in F}E[f]\le E[\sup_{f\in F}f][/mm].
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> [mm]"\ge "[/mm]: Es gilt nach Definition [mm]f\le \sup_{f\in F} f[/mm]. Daher
> [mm]E[\sup_{f\in F} f]\ge E[f][/mm]. Nun folgt wieder [mm]E[\sup_{f\in F} f]\ge \sup_{f\in F}E[f][/mm]
>
> D.h. ich hätte tatsächlich [mm]\sup_{f\in F}E[f]=E[\sup_{f\in F}f][/mm].
> Irgendwie wirkt es für mich aber ziemlich unglaubwürdig
> mit einzig der Annahme oben, dass dies gilt.
>
> Danke und Gruss
>
> physicus
Im Endeffekt hast du zweimal das selbe gezeigt, nämlich
[mm] $sup\limits_{f \in F} [/mm] E [mm] [f]\leq [/mm] E [mm] [\sup\limits_{f \in F} [/mm] f]$,
du hast nur jeweils verschiedenrum aufgeschrieben.
Viele Grüße
Blasco
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