Stetigkeit von g(x,y) < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Do 17.05.2007 | | Autor: | Tealc |
| Aufgabe | Die Funktion g sei für [mm] (x,y)\not=(0,0) [/mm] durch
[mm] g(x,y)=\bruch{x*y^2}{x^2+y^4}
[/mm]
gegeben, und sei g(0,0):=0. Zeigen Sie: Die Funktion g ist in (0,0) unstetig, aber g ist im Nullpunkt längs jeder Geraden stetig. |
Hi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Könnt ihr mir zufällig verraten wie ich die Unstetigkeit in (0,0) beweisen soll ? Ich hatte bisher einfach versucht den Grenzwert von (x,y) gegen (0,0) laufen zu lassen und es kommt tatsächlich 0 raus!
also habe ich versucht [mm] \limes_{x\rightarrow\inft0}\limes_{y\rightarrow\inft0}g(x,y) [/mm] und anschließend [mm] limes_{y\rightarrow\inft0}\limes_{x\rightarrow\inft0}g(x,y) [/mm] zu zeigen in der Hoffnung dass unterschiedliche Werte rauskommen. Aber nein das Glück hatte ich auch nicht :(
Was den 2ten Teil der Aufgabe betrifft:
Da reicht es doch einfach die partiellen Ableitungen zu zeigen oder nicht ?
Wäre echt nett wenn mir jemand einen Tipp geben könnte !
Gruss Tealc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Do 17.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Die Funktion g sei für [mm](x,y)\not=(0,0)[/mm] durch
> [mm]g(x,y)=\bruch{x*y^2}{x^2+y^4}[/mm]
>
> gegeben, und sei g(0,0):=0. Zeigen Sie: Die Funktion g ist
> in (0,0) unstetig, aber g ist im Nullpunkt längs jeder
> Geraden stetig.
> Hi
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Könnt ihr mir zufällig verraten wie ich die Unstetigkeit in
> (0,0) beweisen soll ? Ich hatte bisher einfach versucht den
> Grenzwert von (x,y) gegen (0,0) laufen zu lassen und es
> kommt tatsächlich 0 raus!
was ist für dich der GW (x,y) gegem (0,0)? Dazu musst du doch zeigen : zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es ein [mm] \delta, [/mm] sodass für [mm] \wurzel{x^2+y^2}<\delta [/mm] gilt [mm] |g(x,y)|<\varepsilon.
[/mm]
dass du sowas gemacht hast glaub ich nicht, denn es ist falsch!
> also habe ich versucht
> [mm]\limes_{x\rightarrow\inft0}\limes_{y\rightarrow\inft0}g(x,y)[/mm]
> und anschließend
dabei läufst du auf der x bzw y-Achse gegen 0 und das ist einer der Geraden, auf denen es ja stetig sein soll!
>[mm]limes_{y\rightarrow\inft0}\limes_{x\rightarrow\inft0}g(x,y)[/mm]
> zu zeigen in der Hoffnung dass unterschiedliche Werte
> rauskommen. Aber nein das Glück hatte ich auch nicht :(
>
> Was den 2ten Teil der Aufgabe betrifft:
> Da reicht es doch einfach die partiellen Ableitungen zu
> zeigen oder nicht ?
Stetigkeit ist doch weniger als Differenzierbarkeit, was willst du hier zeigen?
stetig auf jeder Geraden heisst stetig für alle y=a*x a beliebig, das ist einfach.
Unstetig: probier mal auf der Kurve [mm] x=y^2 [/mm] nach 0 zu laufen!
Gruss leduart
> Wäre echt nett wenn mir jemand einen Tipp geben könnte !
>
> Gruss Tealc
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