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h(x,y) = g(x,y)*y
g(x,y)= [mm] \bruch{xy}{x^2+y^2} [/mm] wenn (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0)
g(x,y) = 0 für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0)
Wir sollen zeigen, dass g(x,y) in (0,0) nicht stetig ist und h(x,y) in (0,0) stetig ist.
Ersteres habe ich.
Bei zweiterem soll man die Stetigkeit beweisen, in dem man die Beschränktheit von g zeigt, doch ich verstehe nicht warum man das so machen kann. Ich habe in unserem Skript keinen Satz gefunden, der von der Beschränktheit zur Stetigkeit führt.
Könnte mir das jemand erklären?
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g(x,y) = 0, wenn (x,y) = (0,0)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Mi 09.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> h(x,y) = g(x,y)*y
> g(x,y)= [mm]\bruch{xy}{x^2+y^2}[/mm] wenn (x,y) [mm]\not=[/mm] (0,0)
> g(x,y) = 0 für (x,y) [mm]\not=[/mm] (0,0)
> Wir sollen zeigen, dass g(x,y) in (0,0) nicht stetig ist
> und h(x,y) in (0,0) stetig ist.
>
> Ersteres habe ich.
>
> Bei zweiterem soll man die Stetigkeit beweisen, in dem man
> die Beschränktheit von g zeigt, doch ich verstehe nicht
> warum man das so machen kann. Ich habe in unserem Skript
> keinen Satz gefunden, der von der Beschränktheit zur
> Stetigkeit führt.
>
> Könnte mir das jemand erklären?
Zur Beschränktheit von g:
Für (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0) ist
|g(x,y)| [mm] \le [/mm] 1/2.
(Denke an Binomi)
Damit ist natürlich auch |g(x,y)| [mm] \le [/mm] 1/2 für alle (x,y)
Damit ist
|h(x,y)| [mm] \le \bruch{1}{2}|y|
[/mm]
FRED
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Ja, soweit hatte ich das schon.
Meine Frage war, wie ich daraus auf die Stetigkeit schließen kann.
Nur weil h beschränkt ist, heißt es ja nicht unbedingt, dass h stetig in (0,0) ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Mi 09.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja, soweit hatte ich das schon.
> Meine Frage war, wie ich daraus auf die Stetigkeit
> schließen kann.
> Nur weil h beschränkt ist,
Ne, g ist beschränkt.
> heißt es ja nicht unbedingt,
> dass h stetig in (0,0) ist.
Wir haben
|h(x,y)| $ [mm] \le \bruch{1}{2}|y| [/mm] $
Was treibt also h(x,y) für (x,y) [mm] \to [/mm] (0,0) ?
FRED
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