Stammfunktion bestimmen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Lamarr |
Hallo allerseits,
davon soll ich eine Stammfunktion finden.
in der Lösung steht folgendes:
[mm] \integral{cos^2(x) dx} [/mm] = [mm] \integral{(1/2 + 1/2*cos(2x) dx}
[/mm]
Wie kommt man da drauf? Ich versteh da nicht einmal den Ansatz :(
Grüße und Danke schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Karl,
> f(x) = cos² (x)
> Hallo allerseits,
> davon soll ich eine Stammfunktion finden.
>
> in der Lösung steht folgendes:
> [mm]\integral{cos^2(x) dx}[/mm] = [mm]\integral{(1/2 + 1/2*cos(2x) dx}[/mm]
>
> Wie kommt man da drauf? Ich versteh da nicht einmal den
> Ansatz :(
Stichwort Additionstheorem für den Cosinus.
Es ist [mm] $\cos(2x)=\cos(x+x)=\cos(x)\cdot{}\cos(x)-\sin(x)\cdot{}\sin(x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)$
[/mm]
Also [mm] $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot{}\cos(2x)=\frac{1}{2}\cdot{}\left[1+\cos(2x)\right]=\frac{1}{2}\cdot{}\left[\blue{1}+\cos^2(x)\blue{-\sin^2(x)}\right]=\frac{1}{2}\cdot{}\left[\blue{\cos^2(x)}+\cos^2(x)\right]=\cos^2(x)$
[/mm]
Also kannst du anstatt [mm] $\cos^2(x)$ [/mm] zu integrieren genauso gut die rechte Seite, also [mm] $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot{}\cos(2x)$ [/mm] integrieren.
Berechne also [mm] $\int{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot{}\cos(2x)\right) \ dx}$
[/mm]
Eine alternative Herangehensweise, um das Integral [mm] $\int{\cos^2(x) \ dx}$ [/mm] zu bestimmen, ist es umzuschreiben in [mm] $\int{\cos(x)\cdot{}\cos(x) \ dx}$ [/mm] und mit partieller Integration zuzubeißen
LG
schachuzipus
>
> Grüße und Danke schonmal
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Lamarr |
Super, vielen Dank schonmal.
Aber noch eine Frage bezügl. der partiellen Integration:
Wenn ich die anwende "drehe" ich mich aber doch die ganze Zeit im Kreis, da nach dem ersten mal anwenden gilt:
cos*sin + [mm] \integral [/mm] {sin(x)*sin(x) dx}
<=>
cos*sin - cos*sin + [mm] \integral [/mm] {cos(x)*cos(x) dx} = [mm] \integral [/mm] {cos²(x) dx}
und ich wieder am Anfang wäre, oder hab ich was übersehen?
Danke
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Hallo nochmal,
ja, der "Trick" ist, auszunutzen, dass ja mit dem trigonometr. Pythagoras gilt:
[mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$, [/mm] also [mm] $\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$
[/mm]
Du musst also nach dem ersten Anwenden das [mm] $\sin^2$ [/mm] in dem Integral, das du erhältst, ersetzen durch [mm] $1-\cos^2(x)$
[/mm]
Das Integral kannst du dann auseinander zeihen und insgesamt die Gleichung nach dem Integral [mm] $\int{\cos^2(x) \ dx}$ [/mm] umstellen
LG
schachuzipus
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