Spatprodukt : Vektor für V < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen sie einen Vektor v: ( v1 v2 v3 ), der auf Vektor a und c senkrecht steht und für den spat ( a,c,v) = 125 gilt. Um was für ein geometrisches Onjekt handelt es sich?
a= ( 4 3 0 ) c ( 0 0 5 ) ( c ist orthogonal zu a ) |
Hier wird Vektor v=t * Vektor d geschrieben, mit einem noch zu bestimmenden Vorfaktor t.
Mit dem Spatprodukt spat(a,c,v) = spat (a,c,td) = det bzw t * det
Vektor d ist das Kreuzprodukt von den Vektoren a und c.
Ich habe mir überlegt, dass die Lösung eine Länge von 5 haben muss weil ich ja schon 2 Längen mit 5 habe und ich so dann auf 125 komme.
1. Aber warum kann ich v als ein Vielfaches des Vektors d ansehen? weil die dritte Ebene im Spat, zwangsweise eine linaere abhängig bedint zwischen v und d?
2. Und warum benutz ich dann die determinante?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechnen sie einen Vektor v: ( v1 v2 v3 ), der auf Vektor
> a und c senkrecht steht und für den spat ( a,c,v) = 125
> gilt. Um was für ein geometrisches Onjekt handelt es
> sich?
Nun, zumindest eine klare Aufgabenstellung. 
>
> a= ( 4 3 0 ) c ( 0 0 5 ) ( c ist orthogonal zu a )
> Hier wird Vektor v=t * Vektor d geschrieben, mit einem
> noch zu bestimmenden Vorfaktor t.
Wo? Spaß beseite: der Vektor [mm] \vec{v} [/mm] ist durch die Forderung, dass er auf [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] senkrecht steht, noch nicht eindeutig bestimmt. Genauer: seine Richtung ist eindeutig bestimmt, nicht aber sein Betrag. Man kann also in der (hier berechtigten) Hoffnung, dass die Koordinaten von [mm] \vec{v} [/mm] in ganzzahligen Verhältnissen zueinander stehen, auch [mm] \vec{v}=t*\vec{d} [/mm] schreiben, und mit [mm] \vec{d} [/mm] etwa die Darstellung von [mm] \vec{v} [/mm] mit den kleinsten ganzen Zahlen und möglichst wenig negativen Zahlen meinen, oder einfach nur das Ergebnis jener Rechenoperation, mit der man zweckmäßigerweise im [mm] \IR^3 [/mm] einen zu zwei vorgelegten Vektoren orthogonalen Vektor bestimmt.
> Mit dem Spatprodukt spat(a,c,v) = spat (a,c,td) = det bzw t
> * det
??? Was ist det? (Nicht das ich es nicht wüsste, aber ich meine mich zu erinnern, dass die Determinantenfunktion auch ein Argument benötigt...)
>
> Vektor d ist das Kreuzprodukt von den Vektoren a und c.
Genau so ist es.
> Ich habe mir überlegt, dass die Lösung eine Länge von 5
> haben muss weil ich ja schon 2 Längen mit 5 habe und ich
> so dann auf 125 komme.
Die Überlegung ist zwar richtig, aber das sollst du ja eben rechnerisch zeigen. Und BTW: um was für ein geometrisches Objekt handelt es sich denn?
> 1. Aber warum kann ich v als ein Vielfaches des Vektors d
> ansehen?
Aus den oben beschriebenen Gründen. Das macht Sinn, weil du ja eben die Länge des Vektors [mm] \vec{v} [/mm] haben möchtest
> weil die dritte Ebene im Spat, zwangsweise eine
> linaere abhängig bedint zwischen v und d?
???
> 2. Und warum benutz ich dann die determinante?
Weil das ![[]](/images/popup.gif) Spatprodukt als Determinante definiert ist. Man kann es aber auch so ausrechnen:
[mm] spat(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}\circ\vec{c}
[/mm]
Gruß, Diophant
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Danke für die Antwort!
Wie würde denn der Lösungsansatz mit der Formel ( a*(b kreuz c )) aussehen? Kann ich damit auch nach t auflösen?
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Hallo,
> Danke für die Antwort!
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> Wie würde denn der Lösungsansatz mit der Formel ( a*(b
> kreuz c )) aussehen? Kann ich damit auch nach t auflösen?
zunächst mal: du darfst die Reihenfolge der Rechenoperationen nicht einfach vertauschen!. Dabei ändert sich nämlich das Vorzeichen.
Der Ansatz wäre
[mm] \vektor{4 \\ 3 \\ 0}\times\vektor{0 \\ 0 \\ 5}*\left(t*\vec{d}\right)=125
[/mm]
Das ist eine lineare Gleichung in t, da man den Vektor d kennt.
Bei unbekannten Vektoren kann man jedoch die beiden Produkte nicht einfach auflösen: sie besitzen ja beide keine inverse Operation.
Gruß, Diophant
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