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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Do 24.09.2009 | | Autor: | D-C |
| Aufgabe | Bestimmung einer natürlichen Zahl x [mm] \le [/mm] 420 mit
x [mm] \equiv [/mm] 0 mod 4 , x [mm] \equiv [/mm] 1 mod 5, x [mm] \equiv [/mm] 2 mod 6, x [mm] \equiv [/mm] 3 mod 7 |
Hi,
normalerweise kann man simultane Kongruenzen ja mit dem Chinesischen Restsatz lösen. Hier sind aber 4 und 6 nicht teilerfremd, wollte daher mal wissen, ob mein Ansatz so richtig ist:
Also wie gesagt 4 und 6 nicht teilerfremd, ggT(4,6) = 2
x [mm] \equiv [/mm] 0 mod 4 => x = 0 + 4 * j für ein j [mm] \in \IN [/mm] , in 3. Gleichung einsetzen:
0 + 4 * j [mm] \equiv [/mm] 2 mod 6
=> 4 * j [mm] \equiv [/mm] 2 mod 6
=> 2 * j = 1 mod 3
=> j = 2 mod 3
also gilt j = 2 + 3 * k für ein k [mm] \in \IN
[/mm]
x = 0 + 4 * j
= 0 + 4 * ( 2 + 3 * k)
= 0 + 8 + 12 * k
= 8 + 12 * k
x [mm] \equiv [/mm] 8 mod 12
Das System
x [mm] \equiv [/mm] 8 mod 12
x [mm] \equiv [/mm] 1 mod 5
x [mm] \equiv [/mm] 3 mod 7
würde ich dann jetzt mit dem chinesischen restsatz lösen...
Gruß
D-C
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Hallo D-C,
> Bestimmung einer natürlichen Zahl x [mm]\le[/mm] 420 mit
>
> x [mm]\equiv[/mm] 0 mod 4 , x [mm]\equiv[/mm] 1 mod 5, x [mm]\equiv[/mm] 2 mod 6, x
> [mm]\equiv[/mm] 3 mod 7
> Hi,
>
> normalerweise kann man simultane Kongruenzen ja mit dem
> Chinesischen Restsatz lösen. Hier sind aber 4 und 6 nicht
> teilerfremd, wollte daher mal wissen, ob mein Ansatz so
> richtig ist:
>
> Also wie gesagt 4 und 6 nicht teilerfremd, ggT(4,6) = 2
>
> x [mm]\equiv[/mm] 0 mod 4 => x = 0 + 4 * j für ein j [mm]\in \IN[/mm] , in
> 3. Gleichung einsetzen:
>
> 0 + 4 * j [mm]\equiv[/mm] 2 mod 6
> => 4 * j [mm]\equiv[/mm] 2 mod 6
> => 2 * j = 1 mod 3
> => j = 2 mod 3
>
> also gilt j = 2 + 3 * k für ein k [mm]\in \IN[/mm]
>
> x = 0 + 4 * j
> = 0 + 4 * ( 2 + 3 * k)
> = 0 + 8 + 12 * k
> = 8 + 12 * k
>
> x [mm]\equiv[/mm] 8 mod 12
>
> Das System
>
> x [mm]\equiv[/mm] 8 mod 12
> x [mm]\equiv[/mm] 1 mod 5
> x [mm]\equiv[/mm] 3 mod 7
Der Ansatz ist korrekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> würde ich dann jetzt mit dem chinesischen restsatz
> lösen...
>
> Gruß
>
> D-C
Gruss
MathePower
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