Schwerpunkt eines Bereiches < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Mi 31.01.2007 | | Autor: | Molch |
| Aufgabe | | Koordinaten des geometrischen Schwerpunktes des durch die Kardioide begrenzten Bereichs bestimmen: [mm] r(\alpha)=2*a*(1+\cos(\alpha)) [/mm] |
Hallo!
Ich habe Probleme bei der Bestimmung des Schwerpunkts. Aus Symmetriegründen ist [mm] y_{s}=0, [/mm] an [mm] x_{s} [/mm] beiße ich mir jedoch die Zähne aus.
Die Fläche habe ich berechnet, sie ergibt sich zu [mm] F=6*a*\pi^{2} [/mm] .
Die Berechnung von Schwerpunkten habe ich generell verstanden, was mir fehlt ist jedoch ein Ansatz wie das bei Polarkoordinaten vonstattengeht, also wie und was ich dort transformieren muss.
Vielen Dank!
Gruß
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Es sei [mm]K[/mm] das Innere der Kardioide samt Rand. Der Flächeninhalt von [mm]K[/mm] ist dann
[mm]\left| K \right| = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi}~\left( 2a \left( 1 + \cos{\alpha} \right) \right)^2~\mathrm{d}\alpha = 6 \pi a^2[/mm]
Nach Einführung von Polarkoordinaten
[mm]x = r \cos{\alpha} \, , \ \ y = r \sin{\alpha} \, , \ \ \frac{\partial{(x,y)}}{\partial{(r,\alpha)}} = r[/mm]
berechnet man die [mm]x[/mm]-Koordinate [mm]x_S[/mm] des Schwerpunktes zu
[mm]x_S = \frac{1}{\left| K \right|} \int_K~x~\mathrm{d}(x,y) = \frac{1}{6 \pi a^2} \int_{- \pi}^{\pi}~\left( \int_0^{2a \left( 1 + \cos{\alpha} \right)}~r^2 \cos{\alpha}~\mathrm{d}r \right)~\mathrm{d}\alpha = \frac{4a}{9 \pi} \int_{-\pi}^{\pi}~\left( 1 + \cos{\alpha} \right)^3 \cos{\alpha}~\mathrm{d}\alpha = \frac{5}{3} \,a[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:40 Sa 03.02.2007 | | Autor: | Molch |
Vielen Dank!
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