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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 So 01.06.2008 | | Autor: | spet |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass das folgende Gleichunssystem
[mm] x^2+y^2=9
[/mm]
[mm] y^2+z^2=4
[/mm]
im Punkt (3,0,2) genau eine lokale Auflösung nach einer der Variablen x,y,z besitzt. |
Normalerweise muss man bei Gleichungssystem mit m Ungleichungen doch eine mxm Jacobimatrix untersuchen, oder?
Ich verstehe nicht, wieso dort steht "nach einer der Variablen" und nicht "nach den Variablen x,y" oder so steht.
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Hallo spet,
> Zeigen Sie, dass das folgende Gleichunssystem
> [mm]x^2+y^2=9[/mm]
> [mm]y^2+z^2=4[/mm]
> im Punkt (3,0,2) genau eine lokale Auflösung nach einer
> der Variablen x,y,z besitzt.
> Normalerweise muss man bei Gleichungssystem mit m
> Ungleichungen doch eine mxm Jacobimatrix untersuchen,
> oder?
Hier haben wir aber 2 Gleichungen und 3 Unbekannte.
Demnach kannst Du 1 Unbekannte frei wählen.
>
> Ich verstehe nicht, wieso dort steht "nach einer der
> Variablen" und nicht "nach den Variablen x,y" oder so
> steht.
>
>
Das obige Gleichungssystem kann auch so geschrieben werden:
[mm]f_{1}\left(x,y,z\right)=0[/mm]
[mm]f_{2}\left(x,y,z\right)=0[/mm]
Untersuche hier die Funktionaldeterminanten in [mm]\left(3,0,2\right)[/mm]
[mm]\vmat{ {f_{1}}_{x} & {f_{1}}_{y} \\ {f_{2}}_{x} & {f_{2}}_{y} }\left(3,0,2\right)[/mm]
[mm]\vmat{ {f_{1}}_{x} & {f_{1}}_{z} \\ {f_{2}}_{x} & {f_{2}}_{z} }\left(3,0,2\right)[/mm]
[mm]\vmat{ {f_{1}}_{y} & {f_{1}}_{z} \\ {f_{2}}_{y} & {f_{2}}_{z} }\left(3,0,2\right)[/mm]
Eine von diesen muß ungleich 0 sein. Dann kannst Du nach der verbleibenden Variablen auflösen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 So 01.06.2008 | | Autor: | spet |
Hi, so macht das Sinn und kriege auch raus, dass man nach x und z auflösen kann.
Das heisst also jetzt im Punkt (3,0,2) lässt sich das Gleichsungssystem lokal nach x und z auflösen, aber nicht nach x und y sowie y und z. Stimmt das?
Sagt man aber dann nicht ich löse nach x und z auf anstatt nach y?
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Hallo spet,
> Hi, so macht das Sinn und kriege auch raus, dass man nach x
> und z auflösen kann.
> Das heisst also jetzt im Punkt (3,0,2) lässt sich das
> Gleichsungssystem lokal nach x und z auflösen, aber nicht
> nach x und y sowie y und z. Stimmt das?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Dann hasst Du also [mm]x=x\left(y\right), \ z=z\left(y\right)[/mm].
> Sagt man aber dann nicht ich löse nach x und z auf anstatt
> nach y?
Das ist schon richtig, daß man da nach x und z auflöst.
Gemeint war hier wohl mit der lokalen Auflösung nach einer Variablen (hier: y), daß die beiden anderen Variablen x,z durch eben diese Variable y dargestellt werden können.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 So 01.06.2008 | | Autor: | spet |
Danke dir für deine Hilfe.
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