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| Aufgabe | Sei R ein kommutativer Ring mit [mm] 1\ne0. [/mm] Es bezeichne [mm] R^\ IN_0 [/mm] die Menge der Abbildungen von [mm] \IN_0 [/mm] nach R. Für f, [mm] g\in\R^\ IN_0 [/mm] seien die Abbildungen f+g und f [mm] \cdot [/mm] g [mm] \in\R^\ IN_0 [/mm] durch
f+g: [mm] n\mapsto [/mm] f(n) + g(n)
sowie f [mm] \cdot [/mm] g: n [mm] \rightarrow \summe_{i=0}^{n} [/mm] f(i)g(n-i)
für [mm] n\in\IN_0 [/mm] definiert. Zeigen oder widerlegen Sie:
a) [mm] (R^\ IN_0, [/mm] +, [mm] \cdot) [/mm] ist ein Ring.
b) [mm] (R^\ IN_0, [/mm] +, [mm] \cdot) [/mm] ist ein kommutativer Ring. |
zu a)
Ich muss also zeigen, dass gilt:
(R^ [mm] \IN_0, [/mm] +) ist abelsche Gruppe:
- Assoziativität: (a+b)+c = a+(b+c)
- Kommutativität: a+b = b+a
- Es gibt Neutrales Element: 0+a=a+0=0
- Es gibt Inverse Elemente: a+(-a)=0
(R^ [mm] \IN0, \cdot) [/mm] ist Halbgruppe:
- Assoziativität: a*(b*c) = (a*b)*c
und
- Distributivität: (a+b)*c = a*b + a*c
zu b)
Ich muss zeigen:
Kommutativität: a*b = b*a
Mein Problem ist, dass ich mir das nicht wirklich vorstellen kann.
:-(
Nur für Erst-Poster
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei R ein kommutativer Ring mit [mm]1\ne0.[/mm] Es bezeichne [mm]R^\ IN_0[/mm]
> die Menge der Abbildungen von [mm]\IN_0[/mm] nach R. Für f,
> [mm]g\in\R^\ IN_0[/mm] seien die Abbildungen f+g und f [mm]\cdot[/mm] g
> [mm]\in\R^\ IN_0[/mm] durch
>
> f+g: [mm]n\mapsto[/mm] f(n) + g(n)
>
> sowie f [mm]\cdot[/mm] g: n [mm]\rightarrow \summe_{i=0}^{n}[/mm] f(i)g(n-i)
>
> für [mm]n\in\IN_0[/mm] definiert. Zeigen oder widerlegen Sie:
>
> a) [mm](R^\ IN_0,[/mm] +, [mm]\cdot)[/mm] ist ein Ring.
> b) [mm](R^\ IN_0,[/mm] +, [mm]\cdot)[/mm] ist ein kommutativer Ring.
>
> zu a)
> Ich muss also zeigen, dass gilt:
> (R^ [mm]\IN_0,[/mm] +) ist abelsche Gruppe:
> - Assoziativität: (a+b)+c = a+(b+c)
> - Kommutativität: a+b = b+a
> - Es gibt Neutrales Element: 0+a=a+0=0
> - Es gibt Inverse Elemente: a+(-a)=0
>
> (R^ [mm]\IN0, \cdot)[/mm] ist Halbgruppe:
> - Assoziativität: a*(b*c) = (a*b)*c
> und
> - Distributivität: (a+b)*c = a*b + a*c
> zu b)
> Ich muss zeigen:
> Kommutativität: a*b = b*a
>
> Mein Problem ist, dass ich mir das nicht wirklich
> vorstellen kann.
> :-(
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Beim Aufschreiben der Gruppenaxiome hast Du ganz wichtige Dinge vergessen:
> zu a)
> Ich muss also zeigen, dass gilt:
> (R^ +) ist abelsche Gruppe:
> - Assoziativität:
Für alle [mm] a,b,c\in \IR^{\IN_0} [/mm] gilt:
> (a+b)+c = a+(b+c)
> - Kommutativität:
Für alle a,b [mm] \in \IR^{\IN_0} [/mm] gilt
>a+b = b+a
> - Es gibt Neutrales Element [mm] \red{0\in \IR^{\IN_0}},
[/mm]
so daß
für alle [mm] a\in \IR^{\IN_0} [/mm] gilt:
> 0+a=a+0=0a
> - Es gibt Inverse Elemente:
Zu jedem [mm] a\in \IR^{\IN_0} [/mm] gibt es ein inverses Element [mm] (-a)\in\IR^{\IN_0}
[/mm]
> a+(-a)=0
Und für die Halbgruppe dann entsprechend, das kannst Du selbst ergänzen.
>
> (R^ ist Halbgruppe:
> - Assoziativität: a*(b*c) = (a*b)*c
> und
> - Distributivität: (a+b)*c = a*b + a*c
> zu b)
> Ich muss zeigen:
> Kommutativität: a*b = b*a
Ich mache Dir jetzt mal den Beweis für die Assoziativität bzgl. + vor.
Zutat: 3 beliebige Elemente aus der Menge [mm] \IR^{\IN_0}, [/mm] also 3 Funktionen.
- Assoziativität:
zu zeigen:
Für alle Funktionen [mm] f,g,h\in \IR^{\IN_0} [/mm] gilt:
(f+g)+h=f+(g+h)
Beweis: Seien [mm] f,g,h\in \IR^{\IN_0}.
[/mm]
[Aufgepaßt:
(f+g)+h ist eine Funktion.
f+(g+h) ist eine Funktion.
Wir wollen also die Gleichheit zweier Funktionen zeigen.
Wann sind zwei Funktionen gleich? Wenn ihre Werte auf dem ganzen Definitionsbereich übereinstimmen.
Höhepunkt: zu zeigen ist also, daß für jedes [mm] n\in \IN_0 [/mm] gilt
((f+g)+h)(n)=(f+(g+h) )(n).
Jetzt geht's los.]
Sei [mm] n\in \IN_0.
[/mm]
Es ist
((f+g)+h)(n)= (f+g)(n)+h(n) [mm] \qquad [/mm] denn...
=(f(n)+g(n))+h(n) [mm] \qquad [/mm] denn...
= [mm] f(n)+(g(n)+h(n))\qquad [/mm] denn f(n), g(n),h(n) sind reelle Zahlen
=f(n)+(g+h)(n) [mm] \qquad [/mm] denn...
[mm] =(f+(g+h))(n)\qquad [/mm] denn...
Es ist für alle [mm] n\in \IN_0
[/mm]
((f+g)+h)(n)=(f+(g+h))(n),
also ist
(f+g)+h=f+(g+h).
Die Kommutativität bekommst Du jetzt sicher hin.
Zum neutralen Element
zu zeigen:
es gibt eine Funktion [mm] f_0\in \IR^{\IN_0}, [/mm] so daß für alle Funktionen [mm] f\in \IR^{\IN_0} [/mm] gilt
[mm] f+f_0=f_0+f=f.
[/mm]
Beweis: [überlege Dir, welche Funktion man zu jeder anderen addieren kann, ohne daß sich etwas ändert.
Schreibe ihre Funktionsgleichung hin]
Es sei [mm] f_0:\IN_>0\to \IR [/mm] mit
[mm] f_0(n):=... [/mm] für alle [mm] n\in \IN_0.
[/mm]
Und nun rechne vor, daß die von Dir definierte Funtion tut, as sie tun soll.
Tips zum inversen Element:
Zu zeigen:
zu jedem [mm] f\in \IR^{\IN_0} [/mm] gibt es eine passende Funktion [mm] \overline{f}\in \IR^{\IN_0} [/mm] mit
[mm] f+\overline{f}=\overline{f}+f=f_0.
[/mm]
Beweis: sei [mm] f\in \IR^{\IN_0}.
[/mm]
Definiere nun eine dazu passende Funktion [mm] \overline{f} [/mm] und rechne vor, daß sie tut, was sie soll.
Wenn Du das alles hast, kannst Du die Halbgruppe allein.
LG Angela
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