Riemannsche Summe < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:19 Di 28.04.2009 | | Autor: | matt101 |
| Aufgabe | Es sei f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] gegeben. Zu jedem n definieren wir M(f;n) als arithmetisches Mittel von
f(a+h),f(a+2h),....., f(a+nh) = f(b)
wobei [mm] h=\bruch{b-a}{n}
[/mm]
D.h. M(f;n) = [mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} [/mm] f(a+ih)
Man zeige, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] M(f;n) = [mm] \bruch{1}{b-a} \integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
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Mein Versuch:
Zuerst habe ich eine fkt g(x) def s.d.
g: [a,b] [mm] \to \IR
[/mm]
x [mm] \mapsto [/mm] f(a+xh)
Dann habe ich eine Unterteilung P: [mm] \bruch{1}{n},\bruch{2}{n},....., \bruch{n}{n} [/mm] = 1 und die zugehoerige Riemannsche Summe:
[mm] g(\bruch{1}{n}) \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] g(\bruch{2}{n}) \bruch{1}{n} [/mm] + .. + g(1) [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
= f(a+h) [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + f(a+2h) [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + ... + f(b) [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} [/mm] f(a+ih)
Dann waere die Loesung aber:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] M(f;n) = [mm] \integral_{a}^{b}{g(x) dx} [/mm]
Ich denke ich muss irgendwie f(x) definieren statt g(x).
Hat jemand eine Idee??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Di 28.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo matt
Die fkt die du da definiert hast ist nicht sehr sinnvoll.
nimm direkt f(x) schreib das Integral als lim der Riemanssume mit der Unterteilung (b-a)/n dann steht die Beh. schon da, wenn du (b-a) aus der Summe ziehst.
gruss leduart
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