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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:42 Sa 11.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Betrachte eine Relation $R: [mm] A\rightharpoondown [/mm] B$ als Morphismus in der Kategorie [mm] $\operatorname{Ens}_{Rel}$.
[/mm]
Zeige:
R: [mm] A\rightharpoondown [/mm] B ist eine Coretraktion in [mm] \operatorname{Ens}_{Rel}$, [/mm] wenn R überall definiert und injektiv ist. |
Moin, moin!
Ich hoffe, ich habe die Aufgabe richtig kapiert; ich muss zeigen:
R injektiv und überall definiert [mm] $\Rightarrow$ [/mm] R Coretraktion, d.h. ex. eine Relation $S: [mm] B\rightharpoondown [/mm] A$, sodaß [mm] $S\circ R=id_A$
[/mm]
Beweis(versuch):
Ich behaupte, daß [mm] $S:=\left\{(b,a): (a,b)\in R\right\}$ [/mm] das Gesuchte erfüllt.
Zeige dazu [mm] (i)$S\circ R\subseteq id_A$ [/mm] und [mm] (ii)$S\circ R\supseteq id_A$.
[/mm]
Zu (i): Sei [mm] $(a,a')\in S\circ [/mm] R$. Dann ex. nach der Definition der Komposition von Relationen ein [mm] $b\in [/mm] B$, sodaß [mm] $(a,b)\in [/mm] R$ und [mm] $(b,a')\in [/mm] S$. Dann ist [mm] $(a',b)\in [/mm] R$ (denn sonst wäre doch $(b,a')$ kein Element von S?). Weil R nach Voraussetzung injektiv ist, gilt $a=a'$ und damit [mm] $(a,a')\in id_A$.
[/mm]
Zu (ii): Es sei [mm] $(a,a)\in id_A$. [/mm] R ist nach Voraussetzung überall definiert, also gibt es doch mindestens ein [mm] b\in [/mm] B, sodaß [mm] (a,b)\in [/mm] R. Dann ist [mm] (b,a)\in [/mm] S. Es gibt also ein [mm] b\in [/mm] B, sodaß [mm] (a,b)\in [/mm] R und [mm] (b,a)\in [/mm] S. Das bedeutet aber [mm] $(a,a)\in S\circ [/mm] R$.
[mm] $\Box$
[/mm]
Ich freue mich auf Eure Reaktionen.
Bitte ruhig kleinlich sein, weil ich das abgeben muss. 
Grüße
Dennis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 13.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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