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| Aufgabe | Entwickeln sie die folgenden Funktionen um den Entwicklungspunkt [mm] x_{0} [/mm] und geben sie den Konvergenzradius an:
(a) [mm] \bruch{1}{7-x}, x_{0} [/mm] = 6;
(b) [mm] \bruch{1}{1-x^{a}}, [/mm] a positive, ganze zahl, [mm] x_{0} [/mm] = 0
(c) [mm] \bruch{x}{(1-x)^{2}}, x_{0} [/mm] = 0
(d) arctan [mm] x^{2}, x_{0} [/mm] = 0 |
Hallo,
ich weiß im Moment nicht recht, wie ich an diese Aufgabe gehen muss. Bei (a) z.B. weiß ich ja, dass [mm] \summe_{k=0}^{\infty}x^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] ist. Wie kann ich nun davon auf die gesuchte Potenzreihe schließen, kann mir da jemand einen Tipp geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:16 So 30.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Entwickeln sie die folgenden Funktionen um den
> Entwicklungspunkt [mm]x_{0}[/mm] und geben sie den Konvergenzradius
> an:
> (a) [mm]\bruch{1}{7-x}, x_{0}[/mm] = 6;
> (b) [mm]\bruch{1}{1-x^{a}},[/mm] a positive, ganze zahl, [mm]x_{0}[/mm] = 0
> (c) [mm]\bruch{x}{(1-x)^{2}}, x_{0}[/mm] = 0
> (d) arctan [mm]x^{2}, x_{0}[/mm] = 0
> Hallo,
>
> ich weiß im Moment nicht recht, wie ich an diese Aufgabe
> gehen muss. Bei (a) z.B. weiß ich ja, dass
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}x^{k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] ist. Wie kann
> ich nun davon auf die gesuchte Potenzreihe schließen, kann
> mir da jemand einen Tipp geben?
Bei (a) und (b) kannst du mit folgendem Trick arbeiten: Es ist [mm] $\frac{1}{7 - x} [/mm] = [mm] \frac{1/7}{7/7 - x/7} [/mm] = [mm] \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{1 - (x/7)} [/mm] = [mm] \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{1 - t}$ [/mm] mit $t = [mm] \frac{x}{7}$. [/mm] Wenn du jetzt die Reihe in $t$ entwickelst und dann $t$ zurueckeinsetzt bekommst du die Potenzreihe. Ebenso kannst du den Konvergenzradius fuer die Reihe in $t$ berechnen, dieser sei etwa $r$, dann konvergiert die Reihe ja fuer $|t| < r$. Und jetzt setz $t$ ein und gib eine Schranke der Form $|x| < ...$ an.
Bei (c) kannst du das als [mm] $\pm [/mm] x [mm] \cdot \left( \frac{1}{1 - x} \right)'$ [/mm] schreiben und damit weiterarbeiten. (Multiplikation mit $x$ aendert nix am Konvergenzradius.)
Bei (d) nimmst du die normale Reihenentwicklung von [mm] $\arctan [/mm] t$ um [mm] $t_0 [/mm] = 0$ und nimmst den gleichen Substitutionstrick wie bei (a) und (b).
LG Felix
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