Rechteck im Einheitskreis < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Fr 03.02.2012 | | Autor: | tomtom10 |
| Aufgabe | | Wie groß kann ein Rechteck im Einheitskreis sein ? |
Rechteck im Einheitskreis = 2*Rechteck in einem Halbkreis ==>
Radius=1
(i)A(x)=4x*y
[mm] (ii)r^2=x^2+y^2 [/mm] <=> [mm] y^2=r^2-y^2 <=>y=\wurzel(1-x^2)
[/mm]
[mm] (i)A(x)=4x*\wurzel(1-x^2)
[/mm]
[mm] A'(x)=4*\wurzel(1-x^2)+4x* [/mm] - [mm] \bruch{2x}{2*\wurzel(1-x^2)}
[/mm]
[mm] A'(x)=0=\bruch{4*\wurzel(1-x^2)*\wurzel(1-x^2)}{\wurzel(1-x^2)}+ [/mm] - [mm] \bruch{8x^2}{2*\wurzel(1-x^2)}
[/mm]
[mm] 0=\bruch{4*(1-x^2)-4x^2}{\wurzel(1-x^2)}=\bruch{4-8x^2}{\wurzel(1-x^2)} [/mm] für [mm] 8x^2=$4 [/mm] <=> [mm] x=\wurzel{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Einsetzen in (ii) [mm] y=\wurzel{1^2-\wurzel{\bruch{1}{2}}^2}=\wurzel{\bruch{1}{2}}
[/mm]
(i) [mm] A(x)=4*\wurzel{\bruch{1}{2}}*\wurzel{\bruch{1}{2}}=2
[/mm]
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Hallo tomtom10,
> Wie groß kann ein Rechteck im Einheitskreis sein ?
> Rechteck im Einheitskreis = 2*Rechteck in einem Halbkreis
> ==>
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> Radius=1
>
> (i)A(x)=4x*y
> [mm](ii)r^2=x^2+y^2[/mm] <=> [mm]y^2=r^2-y^2 <=>y=\wurzel(1-x^2)[/mm]
>
> [mm](i)A(x)=4x*\wurzel(1-x^2)[/mm]
> [mm]A'(x)=4*\wurzel(1-x^2)+4x*[/mm] - [mm]\bruch{2x}{2*\wurzel(1-x^2)}[/mm]
>
> [mm]A'(x)=0=\bruch{4*\wurzel(1-x^2)*\wurzel(1-x^2)}{\wurzel(1-x^2)}+[/mm]
> - [mm]\bruch{8x^2}{2*\wurzel(1-x^2)}[/mm]
>
> [mm]0=\bruch{4*(1-x^2)-4x^2}{\wurzel(1-x^2)}=\bruch{4-8x^2}{\wurzel(1-x^2)}[/mm]
> für [mm]8x^2=$4[/mm] <=> [mm]x=\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Einsetzen in (ii)
> [mm]y=\wurzel{1^2-\wurzel{\bruch{1}{2}}^2}=\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> (i) [mm]A(x)=4*\wurzel{\bruch{1}{2}}*\wurzel{\bruch{1}{2}}=2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
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