Rechnen mit Rotationsmatrizen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Der Punkt P (3/4) soll um die Z-Achse auf 45° verschoben werden. Wie lautet die neue Koordinate. Begründe mit einer Rechnung. |
Ich habe folgende Formal recherchiert (diese gilt nur für 2-Dimensionen):
x´= (x*cos alpha) + (y*(-sin alpha)
y' = (x * sin alpha) + ( y * cosh alpha)
Allerdings verwirren mich diese Formeln. Mein Ansatz war es nämlich erst mal die Vektorlänge zu ermitteln (5: sqrt(3*3 + 4*4)).
Nun habe ich x´so ausgerechnet: 5*cos alpha
und y´ habe ich dementsprechend so ausgerechnet: 5* sin alpha
Aber für die nächsten Aufgaben benötige ich nun mal die Formeln. Wie sind diese zu verstehen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo!
Du kannst
[mm] \vektor{x\\y} [/mm] schreiben als [mm] x*\vektor{1\\0}+y*\vektor{0\\1}
[/mm]
Jetzt zeichne mal den Vektor [mm] \vec{e}_1=\vektor{1\\0} [/mm] in ein Koordinatensystem, und rotiere ihn um einen Winkel [mm] \alpha, [/mm] das nen ich mal [mm] \vec{e}_1^\ast [/mm] .
Zeichne von der Spitze von [mm] \vec{e}_1^\ast [/mm] eine Linie senkrecht auf die x-Achse. Die Linie, die x-Achse und [mm] \vec{e}_1^\ast [/mm] bilden ein rechtwinkliges Dreieck, wobei die Hypothenuse [mm] \vec{e}_1^\ast [/mm] die Länge 1 hat. Damit kannst du [mm] \vec{e}_1^\ast [/mm] berechnen: [mm] \vec{e}_1^\ast=\vektor{\cos(\alpha)\\\sin(\alpha)}
[/mm]
Was kommt raus,wenn du das selbe mit [mm] \vec{e}_2=\vektor{0\\1} [/mm] machst?
Für deinen ursprünglichen Vektor [mm] x*\vektor{1\\0}+y*\vektor{0\\1} [/mm] lautet der gedrehte Vekor dann
[mm] x*\vec{e}_1^\ast+y*\vec{e}_2^\ast
[/mm]
Und dabei kommt das raus, was du da stehen hast.
|
|
|
|
