Q adjungiert Wurzel 2 < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Do 11.12.2008 | | Autor: | jonlord |
Hallo zusammen!
Ich habe folgende Frage allgemeiner Natur:
Wie genau ist [mm] \IQ[\wurzel{2}] [/mm] definiert?
Wir hatten in der Vorlesung 2 verschiedene Möglichkeiten... Erstens als [mm] \{a + b \wurzel{2} : a,b \in \IQ \}
[/mm]
und zweitens so, dass man [mm] \IQ [\wurzel{2}] [/mm] interpretiert als dern Polynomring [mm] \IQ[x] [/mm] ausgewertet an [mm] \wurzel{2} [/mm] , aber das wäre ja dann die Menge [mm] \{a_{0} + a_{1} \wurzel{2} + \cdots + a_{n}\wurzel{2}^{n} : a_{0}, \cdots , a_{n} \in \IQ \} [/mm] und das ist ja offensichtlich nicht das selbe wie die erste Version.
Kann mir jmd weiterhelfen? Vielen Dank :)
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> Hallo zusammen!
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> Ich habe folgende Frage allgemeiner Natur:
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> Wie genau ist [mm]\IQ[\wurzel{2}][/mm] definiert?
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> Wir hatten in der Vorlesung 2 verschiedene Möglichkeiten...
> Erstens als [mm]\{a + b \wurzel{2} : a,b \in \IQ \}[/mm]
> und
> zweitens so, dass man [mm]\IQ [\wurzel{2}][/mm] interpretiert als
> dern Polynomring [mm]\IQ[x][/mm] ausgewertet an [mm]\wurzel{2}[/mm] , aber
> das wäre ja dann die Menge [mm]\{a_{0} + a_{1} \wurzel{2} + \cdots + a_{n}\wurzel{2}^{n} : a_{0}, \cdots , a_{n} \in \IQ \}[/mm]
> und das ist ja offensichtlich nicht das selbe wie die erste
> Version.
Wertemässig ist das natürlich genau dasselbe,
weil alle höheren Potenzen von [mm] \wurzel{2} [/mm] sofort
wieder verschwinden. Zum Beispiel ist
[mm] 5+3*\wurzel{2}-4*\wurzel{2}^2-\wurzel{2}^3+2*\wurzel{2}^4-3*\wurzel{2}^5
[/mm]
[mm] =5+3*\wurzel{2}-4*2-2*\wurzel{2}+2*4-3*4*\wurzel{2}
[/mm]
[mm] =5-8+8+(3-2-12)\wurzel{2}=5-11*\wurzel{2}
[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Do 11.12.2008 | | Autor: | jonlord |
ah jo, klar! vielen Dank
so in der Art dachte ich es mir, hab nicht drüber nachgedacht, dass Wurzel aus 2 hoch 3 geschrieben werden kann als x mal Wurzel 2
Danke!
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