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Forum "Funktionalanalysis" - Projektion im normierten Raum
Projektion im normierten Raum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Projektion im normierten Raum: Tipp gesucht
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:12 Fr 15.06.2012
Autor: mathejenny

Hi,

ich weiß gerade bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Zeige:
Ist [mm] l^\infty [/mm] normierter Unterraum eines normierten Raumes B, so gibt es eine stetige lineare Projektion P:B->B mit Bild(P) = [mm] l^\infty [/mm] und ||P||=1

Mein Ansatz ist nun für i [mm] \varepsilon\IN l_i: l^\infty [/mm] -> [mm] \IK [/mm] mit [mm] l_i [/mm] (x) = [mm] x_i [/mm]
zu nutzen

Nach Hahn-Banach gibt es nun eine Fortsetzung auf B mit [mm] L_i:B->\IK [/mm]

P hab ich dann folgendermaßen definiert:
[mm] P:B->l^\infty, x->(L_1(x),L_2(x),...) [/mm]

Wenn ich nun ein x aus [mm] l^\infty [/mm] wähle, folgt:
Px = [mm] (L_1(x),L_2(x),...) [/mm] = [mm] (l_1(x),l_2(x),...) [/mm] = [mm] (x_1,x_2,...) \varepsilon l^\infty [/mm]
Also kann damit ganz [mm] l^\infty [/mm] erzeugt werden.

Jetzt müsste ich noch weiter zeigen, dass auch für x [mm] \varepsilon [/mm] B \ [mm] l^\infty [/mm] folgt, dass Px in [mm] l^\infty [/mm] liegt.
Nur hier weiß ich leider nicht weiter, da ich keine Ahnung habe wie der Raum B aussieht. Ist das einfach der Raum aller Folgen?

Könntet ihr mir einen Tipp geben, wie ich weitermachen kann oder ob ich einen komplett falschen Weg eingeschlagen habe?

Vielen Dank!

Jenny


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Projektion im normierten Raum: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 So 17.06.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Projektion im normierten Raum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:51 Mo 18.06.2012
Autor: fred97

Für jedes x [mm] \in [/mm] B ist

          [mm] Px=(L_j(x)) [/mm]

und [mm] |L_j(x)| \le ||L_j||*||x||=||l_j||*||x||=||x|| [/mm]

Damit ist die Folge [mm] (L_j(x)) [/mm] beschränkt.

FRED

Bezug
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